Это слово может быть и предлогом, текст нужен.Но вероятнее всего,что обстоятельство
Честный дистрибьютор, государственная дотация, новый имидж, политический импичмент, президентская инаугурация, французский Интерпол, клубничный / шоколадный / малиновый йогурт, японский / американский кикбоксинг, домашний / персональный / мощный / новый компьютер, консенсуальные сделки, большой коттедж, семейный круиз, политический курултай, парламентский мажилис, казахстанский аким, региональный акимат.
Огромная кошка живет высоко в горах Тань-Шаня
1) подлежащее-семейство, ёж, ежиха, ежата, родители, семья
2) сказуемое-прогуливалась, шёл,шла, катились, вывели, выходила гулять
3)дополнение- ежей, ежиха, комочками, их,
4) определение- старый, маленькими, крохотные, первый, каждый,
5) обстоятельство- по дорожке, за ним, на прогулку, с тех пор, ежиная , каждый вечер , по саду
В первом предложении правильно писать- прогуливалось семейство ежей.
Обстаятельства - по дорожке, за ним, на прогулку, по саду- можно отметить и как дополнения, смотря как ставить вопрос . Где ? или по чему?