<em>Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза АВ=25, высота СD=12. Окружность радиуса AD пересекает сторону АС в точке Е. <u>Найти АЕ.</u></em>
<em>В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, есть <u>среднее пропорциональное</u> между отрезками, на которые она делит гипотенузу.</em>
CD²=AD•BD
Пусть АD=x. Тогда BD=25-x
12²=x•(25-x) ⇒144=25х-х³⇒
<em>х²-25х+144=0</em>
Решив квадратное уравнение, получим х₁=16, х₂=9, ⇒АВ=16+9=25.
<span>Т.к. АЕ=АD, то, поскольку нет дополнительных данных, искомый радиус может быть как 16, так и 9. </span>
<span>Т.е. если АD=16, то АЕ=16, если АD=9, то АЕ=9. </span>
------------
<span>Дополнительно можно заметить, что ∆ АСD и ∆ BCD имеют отношение катетов 3:4, это "египетские треугольники, следовательно и ∆ АВС - египетский. </span>
<span>Можно без вычислений сказать, что один из катетов ∆ АВС=15, второй=20. </span>