Задача 2. Даны вершины треугольника:
Точка А Точка В Точка С
Ха Уа Хв Ув Хс Ус
2 1 3 -1 1 -2 .
а) АВ : <u>Х-Ха</u> = <u>У-Уа</u>
Хв-Ха Ув-Уа
(х - 2)/1 = (у -1)/(-2).
АС: <u> Х-Ха</u> = <u> У-Уа </u>
Хс-Ха Ус-Уа
(х - 2)/(-1) = (у -1)/(-3).
б) Уравнение стороны АС из канонического преобразуем в уравнение с угловым коэффициентом.
-3х + 6 = -у + 1,
у = 3х - 5.
Уравнение высоты ВВ1 с учётом к(ВВ1) = -1/к(АС): у = (-1/3)х + в.
Для определения параметра в подставим координаты точки В, через которую проходит прямая.
-1 = (-1/3)*3 + в,
в = (3/3) - 1 = 0. Тогда уравнение ВВ1: у = (-1/3)х.
в) Находим векторы AB и AC.
АВ = (3-2=1; -1-1=-2) = (1; -2). Модуль равен √(1 + 4) = √5.
АС = (1-2=-1; -2-1=-3) = (-1; -3). Модуль равен √(1 + 9) = √10.
cos(AB_AC) = (1*(-1) + (-2)*(-3))/(√5*√10) = 5/(5√2) = 1/√2.
Угол равен 45 градусов.
г) Основание медианы из точки В это точка В2 как середина АС.
В2 = ((2+1)/2=1,5; (1-2)/2=-0,5) = (1,5; -0,5).
ВВ2: Δх = 1,5 – 3 = -1,5; Δу = -0,5 +1 = 0,5.
Уравнение ВВ2: (х – 3)/(-1,5) = (у + 1)/0,5.
Оно же у = (-1/3)х, то есть высота и медиана из точки В совпадают, значит, треугольник АВС равнобедренный: АВ = ВС. Точки В2 и В1 совпадают.
д) Расстояние от точки В до стороны АС равно высоте ВВ1.
ВВ1 = √((1,5 – 3)² + (-0,5 + 1)²) = √2,5 ≈ 1,581139.
