Question

Докажите, что если 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c), то
1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3 = 1/(a^3 + b^3 + c^3)

Answer 1

Если a = -b, то утверждение очевидно.

Пусть a ≠ -b. Найдём c из первого равенства.

1/a + 1/b = 1/(a + b + c) - 1/c
(a + b)/(ab) = -(a + b)/(c (a + b + c)) – делим обе части уравнения на (a + b) ≠ 0
1/(ab) = -1/(c (a + b + c))
c^2 + (a + b) c + ab = 0

По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна -(a + b), произведение ab. Очевидно, c = -a или c = -b. Но тогда опять-таки выполнение второго равенства очевидно.