Пусть a, b ∈ N и a < b.
Составим правильную дробь
![\frac{a}{b}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D+)
и перевёрнутую (неправильную)
![\frac{b}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D)
.
Узнаем, как далеко от единицы находятся данные дроби. Нам нужно только расстояние, поэтому берём по модулю.
![\Delta a= |1-\frac{a}{b}|](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CDelta+a%3D+%7C1-%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7C)
- правильная дробь
![\Delta b= |1-\frac{b}{a}|](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CDelta+b%3D+%7C1-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%7C)
- неправильная дробь
Сравним полученные расстояния. Для этого найдём отношение расстояния правильной дроби до единицы к расстоянию неправильной дроби до единицы. Если мы получим, что отношение меньше единицы, то правильная дробь ближе к 1, если больше - неправильная дробь ближе к 1, если отношение равно 1 - на одинаковом расстоянии.
![\frac{\Delta a}{\Delta b} = \frac{|1-\frac{a}{b}|}{|1-\frac{b}{a}|} = \frac{|\frac{b-a}{b}|}{|\frac{a-b}{a}|} = \frac{a}{b} \ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5CDelta+a%7D%7B%5CDelta+b%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7C1-%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C1-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%7C%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7C%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7Ba%7D%7C%7D+%3D++%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D+%5C+%5Ctextless+%5C+1)
Итак, отношение получилось меньше 1, т.к. мы приняли a < b. Поэтому, для любых a и b - правильная дробь всегд будет ближе к 1, чем перевёрнутая.