Question

Помогите решить, пожалуйста (высшая математика)

Answer 1

1) по ломаной ОАС:
Уравнение ОА: у=0, 0≤х≤4  ⇒dy=0 интеграл по ОА:

$\int\limits_{OA} {x^3} \, dx= \int\limits^4_0 {x^3} \, dx= \frac{x^4}{4}|^4_0=64$

Уравнение АС:х=4, 0≤у≤8    ⇒dx=0  интеграл по АС:

$\int\limits_{AC} {(8-y^2)} \, dy= \int\limits^8_0 {(8-y^2)} \, dx=(8y- \frac{y^3}{3})|^8_0=64- \frac{512}{3}$

$\int\limits_{OAC} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} \,= \\ \\ =\int\limits_{OA} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} + \int\limits_{AC} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} = \\ \\ = 128- \frac{512}{3}.$

2) по ломаной ОBС:
Уравнение OB:х=0, 0≤у≤8    ⇒dx=0
интеграл по ОВ
$\int\limits_{OB} {(-y^2)} \, dy= \int\limits^8_0 {(-y^2)} \, dx=(- \frac{y^3}{3})|^8_0= -\frac{512}{3}$
 интеграл по ВС
Уравнение BC: у=8, 0≤х≤4  ⇒dy=0 интеграл по BC:

$\int\limits_{BC} {(x^3+16)} \, dx= \int\limits^4_0 {(x^3+16)} \, dx=(\frac{x^4}{4}+16x)|^4_0=64+64=128$

$\int\limits_{OBC} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} \,= \\ \\ =\int\limits_{OB} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} + \int\limits_{BC} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} = \\ \\ = 128- \frac{512}{3}.$

3) по параболе у=x²/2  ⇒  dy=xdx
  0≤x≤4
$\int\limits_{OC} {(x^3+2y)dx+(2x-y^2)dy} \,= \int\limits^4_0 {(x^3+x^2)dx+(2x- (\frac{x^2}{2})^2 )xdx} \,= \\ \\= \int\limits^4_0 {(-\frac{x^5}{4}+x^3+3x^2 )dx} \,= \\ \\=( -\frac{x^6}{24} + \frac{x^4}{4}+3 \frac{x^3}{3} )|^4_0=128- \frac{512}{3}$