Они должны друг другу, но разные вещи.
Граждане должны платить государству налоги и соблюдать принятые в государстве законы. Собсно, всё. Этим обязанности граждан по отношению к государству исчерпываются.
Государство должно подчиняться воле граждан, которую они выражают на выборах или через референдум. Государство, на собранные налоги (то есть на те деньги, которые граждане ему платят), должно улучшать, упрощать, облегчать жизнь граждан, то есть строить дороги, открывать школы и больницы, развивать науку (фундаментальную науку в первую очередь) и поддерживать культуру. Государство должно обеспечивать безопасность граждан, то есть применять насилие по отношению к тем, кто эту безопасность пытается нарушить, а равно и к тем, кто эту прерогативу государства присваивает себе. Но не только это. Ведь безопасность понятие куда более широкое, чем охрана от преступников и террористов. Безопасность - это ещё и контроль за лекарствами, продуктами питания, состоянием дорог и транспорта, соблюдением стандартов и кодексов при производстве самых разных работ - от строительства до выпуска детских игрушек. То есть государство должно ещё заниматься сертификацией и стандартизацией, потому что это тоже аспект безопасности.
Государство должно создавать и пестовать справедливый и независимый суд, независимый в том числе и от государства. И это не парадокс: в спорах гражданина с государством суд не должен априори становиться на сторону государства, они должны быть равны перед судом. Именно в этом и состоит независимость суда от государства.
А ещё - государство не должно мешать людям. Его задача - не отсвечивать и не вмешиваться в то, что граждане прекрасно могут сделать сами, следуя установленным законам. В частности - не должно вмешиваться в экономику. Оно, да, может издавать законы. Оно, да, может принимать бюджет и устанавливать налоги, акцизы, а равно и налоговые льготы и преференции. Но оно не должно само заниматься бизнесом.
Но самая главная обязанность государства, без которой оно превращается в тиранию, а не в нормальное государство: оно не имеет права нарушать фундаментальные права. Как минимум те, что записаны в конституции государства. Потому что, ещё раз, народ первичен, а государство вторично. Это государство находится в подчинении своих граждан, а не граждане - в услужении государству.
<hr />
И не путайте государство со страной. Это совершенно разные вещи.
