Не существует в русском языке чередования Ф-Ш в корне слова, нет его в списке исторически сложившихся пар чередования согласных, даже среди редких вариантов типа кот-кошка.
Давайте подберем однокоренные слова к существительному картофель: картофел/ина, картофел/инка, картофель/ный,
а также много сложных слов с этим же корнем (а корень в этом слове -- все слово, имеющее нулевое окончание): картофелеуборка, картофелечистка, картофелеуборочный и картофелепосадочный (комбайны).
Существительное же картошка -- просторечное название картофеля, каких достаточно много (например, картоха, картофан).
Однокоренные к слову картошка (картошечка, картошина, картошинка, картошечный) имеют корень картош-.
Морфемный состав этого, можно сказать, всенародного слова, совсем другой.
Поэтому картофель и картошка -- слова-синонимы, но не однокоренные.