Question

Докажите, что выражение 4х^2+2y^2-4xy-4x+2y+2 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.
P.s. D(дискриминант, или что-то типа этого) не проходили.

Answer 1

Сгруппируем члены данного многочлена:
4х²+2y²-4xy-4x+2y+2 = (4х² - 4ху + у²) + (у² + 2y +1) + 1 = (2x - y)² + (y + 1)² + 1.
Слагаемое (2x - y)² - неотрицательно при любых х и у; слагаемое (y + 1)² - также неотрицательно при любых у. Поэтому при любых х и у сумма этих слагаемых неотрицательна.
Если к этой сумме прибавить 1, то общая сумма (т.е. исходный многочлен) при любых х и у становится положительным.
Доказано.

P.S. Заметьте, обошлись без дискриминанта ))).