Задача 35.Движение поезда – равноускоренное прямолинейное, векторы скорости и ускорения сонаправлены (поезд разгоняется), значит в рассуждениях буду пользоваться следующей системой уравнений (пока в общем виде запишу):
![\left \{ {{ S=V_{0}t+\frac{at^{2}}{2} } \atop {V=V_{0}+at}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+S%3DV_%7B0%7Dt%2B%5Cfrac%7Bat%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%7D+%5Catop+%7BV%3DV_%7B0%7D%2Bat%7D%7D+%5Cright.+)
Здесь
V₀ – начальная скорость на конкретном участке;
V – конечная скорость на конкретном участке;
S – пройденный путь на конкретном участке;
t – время прохождения конкретного участка;
a – ускорение, постоянное на всех участках.
Разобьём движение поезда на 3 участка:
Участок 1. Поезд движется от момента трогания до момента, когда передо мной возник предпоследний вагон.
Начальная скорость равна 0 (проезд тронулся). Время движения t₁.
Т.к. в начале этого участка реальное время было 12:00, а в конце этого участка на моих часах стало 12:00 (а реальное стало 12:00 + t₁), то время прохождения поездом этого участка t₁ как раз и есть искомое время – отставание моих часов.
Участок 2. Передо мной проезжает предпоследний вагон.
Участок 3. Передо мной проезжает последний вагон.
Начальная скорость на участке 2 равна конечной скорости на участке 1:
![V_{02}=V_{1} \\ V_{02}=V_{01}+at_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7B02%7D%3DV_%7B1%7D+%5C%5C+V_%7B02%7D%3DV_%7B01%7D%2Bat_%7B1%7D)
При этом
![V_{01}=0](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7B01%7D%3D0)
Тогда
![V_{02}=at_{1}, \\ t_{1}=\frac{V_{02}}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7B02%7D%3Dat_%7B1%7D%2C+%5C%5C+t_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D)
Начальная скорость на участке 3 равна конечной скорости на участке 2:
![V_{03}=V_{2}, \\ V_{03}=V_{02}+at_{2}, \\ \frac{V_{03}}{a} = \frac{V_{02}}{a}+t_{2}](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7B03%7D%3DV_%7B2%7D%2C+%5C%5C+V_%7B03%7D%3DV_%7B02%7D%2Bat_%7B2%7D%2C+%5C%5C+%5Cfrac%7BV_%7B03%7D%7D%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D%2Bt_%7B2%7D)
Пройденные пути ан участках 2 и 3 равны между собой (т.к. равны длине вагона):
![S_{2}=S_{3} \\ V_{02}t_{2}+\frac{at_{2}^{2}}{2}=V_{03}t_{3}+ \frac{at_{3}^{2}}{2} \\ \frac{V_{02}}{a}t_{2}+\frac{t_{2}^{2}}{2}=\frac{V_{03}}{a}t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B2%7D%3DS_%7B3%7D+%5C%5C+V_%7B02%7Dt_%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bat_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3DV_%7B03%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bat_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7Dt_%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BV_%7B03%7D%7D%7Ba%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D)
Тогда:
![\frac{V_{02}}{a}t_{2}+\frac{t_{2}^{2}}{2}= (\frac{V_{02}}{a}+t_{2})t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7Dt_%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D+%28%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D%2Bt_%7B2%7D%29t_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D)
Выразим из этого уравнения отношение V₀₂/a:
![\frac{V_{02}}{a}t_{2}+\frac{t_{2}^{2}}{2}= \frac{V_{02}}{a}t_{3}+t_{2}t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2} \\ \frac{V_{02}}{a}(t_{2}-t_{3})= t_{2}t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2}-\frac{t_{2}^{2}}{2} \\ \frac{V_{02}}{a}= (t_{2}t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2}-\frac{t_{2}^{2}}{2}):(t_{2}-t_{3})](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7Dt_%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7Dt_%7B3%7D%2Bt_%7B2%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D%28t_%7B2%7D-t_%7B3%7D%29%3D+t_%7B2%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D%3D+%28t_%7B2%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%3A%28t_%7B2%7D-t_%7B3%7D%29)
Подставим это в формулу для нахождения искомого времени t₁:
![t_{1}=\frac{V_{02}}{a} \\ t_{1}= (t_{2}t_{3}+ \frac{t_{3}^{2}}{2}-\frac{t_{2}^{2}}{2}):(t_{2}-t_{3})](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7BV_%7B02%7D%7D%7Ba%7D+%5C%5C+t_%7B1%7D%3D+%28t_%7B2%7Dt_%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7Bt_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bt_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%3A%28t_%7B2%7D-t_%7B3%7D%29)
При этом время второго участка t₂ = 10 с, а время третьего участка t₃ = 8 с:
![t_{1}= (10\cdot8+ \frac{8^{2}}{2}-\frac{10^{2}}{2}):(10-8) \\ t_{1}= (80+ 32-50):2 \\ t_{1}= 31\: c](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%7D%3D+%2810%5Ccdot8%2B+%5Cfrac%7B8%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B10%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%3A%2810-8%29+%5C%5C+t_%7B1%7D%3D+%2880%2B+32-50%29%3A2+%5C%5C+t_%7B1%7D%3D+31%5C%3A+c)
Ответ: отставание часов – 31 секунда.