Ответ:
<em><u>наименьшее = 0; наибольшее = 1.5</u></em>
Пошаговое объяснение:
Найдем производную функции. Это можно сделать по определению через предел от приращения функции деленного на приращение аргумента при дельта x стремящемся к 0 или же по выведенным формулам.
Я сделаю сначала по определению:
![\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{ \frac{3(x + \Delta x)}{ {(x + \Delta x)}^{2} + 1} - \frac{3x}{ {x}^{2} + 1 } }{\Delta x} = - \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B3%28x%20%2B%20%5CDelta%20x%29%7D%7B%20%7B%28x%20%2B%20%5CDelta%20x%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%201%7D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B3x%7D%7B%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%201%20%7D%20%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%3D%20%20%20-%20%5Cfrac%7B%203%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%20-%20%203%7D%7B%20%7Bx%7D%5E%7B4%7D%20%20%2B%202%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%201%20%7D%20)
Теперь по формулам:
![\frac{3 \times ( {x}^{2} + 1) - 3x \times 2x}{({x}^{2} + 1)^{2} } = - \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3%20%5Ctimes%20%28%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%201%29%20-%203x%20%5Ctimes%202x%7D%7B%28%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%201%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%203%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%20-%20%203%7D%7B%20%7Bx%7D%5E%7B4%7D%20%20%2B%202%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%201%20%7D%20%20)
Как видишь вышло то же самое.
Теперь приравняем полученное к 0 и найдем критические точки:
![- \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 } = 0 \\ x = + - 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%5Cfrac%7B%203%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%20-%20%203%7D%7B%20%7Bx%7D%5E%7B4%7D%20%20%2B%202%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%201%20%7D%20%20%3D%200%20%5C%5C%20x%20%3D%20%20%2B%20-%201)
Для себя подставим точку меньше -1; от -1 до 1; больше 1 и получим, что функция возрастает на [-1; 1], а на остальных соответственно убывает.
Просчитаем значения функции в точках 0; 1; 5. При x=0, y=0; При x=1, y=1.5; При x=5, y=15/26. Тогда наименьшее значение функции на отрезке [0; 5] равно 0, а наибольшее 1.5