Question

Помогите с тригонометрическими уравнениями плз) подробнее

Answer 1

1) cos 3x = √2/2
3x = +-pi/4 + 2pi*k
x = +-pi/12 + 2pi/3*k

2) 1 + 2sin 2x = 0
sin 2x = -1/2
2x1 = -pi/6 + 2pi*k; x1 = -pi/12 + pi*k
2x2 = -5pi/6 + 2pi*k; x2 = -5pi/12 + pi*k

3)3cos^2 x + cos x - 4 = 0
Замена cos x = t
3t^2 + t - 4 = 0
(t - 1)(3t + 4) = 0
t1 = cos x = -4/3 < -1 - не подходит
t2 = cos x = 1
x = 2pi*k

4) sin x - cos x = 0
sin x = cos x
Делим все на cos x
tg x = 1
x = pi/4 + pi*k

5) 4sin^2 x - 5sin x*cos x - 6cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
4tg^2 x - 5tg x - 6 = 0
Замена tg x = t
4t^2 - 5t - 6 = 0
(t - 2)(4t + 3) = 0
t1 = tg x = 2; x1 = arctg(2) + pi*k
t2 = -3/4; x2 = -arctg(3/4) + pi*n

6) Тут явная опечатка
sin 3x*cos x - cos 3x*sin x = 0
Разложим sin 3x и cos 3x
sin 3x = sin(x + 2x) = sin x*cos 2x + cos x*sin 2x =
= sin x*(1 - 2sin^2 x) + cos x*2sin x*cos x = sin x*(1 - 2sin^2 x + 2cos^2 x) =
= sin x*(1 - 2sin^2 x + 2 - 2sin^2 x) = sin x*(3 - 4sin^2 x)
Таким образом
sin 3x = sin x*(3 - 4sin^2 x)
Аналогично можно получить
cos 3x = cos x*(4cos^2 x - 3)
Подставляем в уравнение
sin x*(3 - 4sin^2 x)*cos x - cos x*(4cos^2 x - 3)*sin x = 0
sin x*cos x*(3 - 4sin^2 x - 4cos^2 x + 3) = 0
sin x*cos x*(3 - 4 + 3) = 2sin x*cos x = 0
sin x = 0; x1 = pi*k
cos x = 0; x2 = pi/2 + pi*k
Эти два корня можно объединить в один:
x = pi/2*k