Question

Х в степени у + у в степени х =200

Answer 1

$x^y+y^x=200$
ОДЗ: $\left \{ {{x>0} \atop {y>0}} \right.$
$x^y+y^x-200=0$
Пусть $y^x=a,\,\,x^y=b$
b+a-200=0
a=-b+200
$\left \{ {{a>0} \atop {x\lg(y)=\lg(a)}} \right. \\ \left \{ {{b>0} \atop {y\lg(x)=\lg(b)}} \right.$
$\left \{ {{b<200} \atop {x\lg(y)=\lg(-b+200)}} \right. \\ \left \{ {{b>0} \atop {y\lg(x)=\lg(b)}} \right.$
Выразим переменную у
$y= \frac{\lg(b)}{\lg(x)} \\ \\ x\lg( \frac{\lg(b)}{\lg(x)} )=\lg(-b+200) \\ x(\lg(|\lg(b)|)-\lg(|\lg(x)|))=\lg(-b+200) \\ x(\lg(\lg(b))-\lg(\lg(x))=\lg(-b+200) \\ x(\lg(\lg(b))-\lg(\lg(x))-\lg(-b+200)=0 \\ x\lg(\lg(b))-x\lg(\lg(x))-\lg(-b+200)=0$
$\left \{ {{0<x} \atop {0<y}}\atop {\lg(x)>0} \right.\to \O$
Теперь если
$\left \{ {{\lg(y)=\lg(-b+200)} \atop {x=1}} \right.$
$\lg(y)=\lg(-b+200) \\ y=-b+200$
учитем что $\lg(b)=0\to b=1$
$\left \{ {{b=1} \atop {y=-1+200}}\atop {a=-1+200} \right. \to \left \{ {{b=1} \atop {y=199}}\atop {x=1} \right.$

ИЗ условия видно, что х и у имеют зеркальные решения если х=а и у=с, то и х=с и у=а

Ответ: х = 1; у =199. и  x=199; y=1