Как тут уже сказали, в этой ситуации возможны два варианта.
Либо мужчина отказывается от своей религии, то есть перестает быть ортодоксом, и тогда брак заключается по законам того государства, где это происходит. Если это происходит в Израиле, где религия не отделена от государства и браки заключаются только в рамках религиозных конфессий, то им придется поехать за границу (чаще всего на Кипр) и заключить брак там по законам той страны. Такой брак будет в Израиле признан государством.
Какие будут сложности в этом случае?
Прежде всего, мужчине, скорее всего, придется разорвать все связи со своим прежним окружением, с семьей и т. д. Это всегда не просто. Трудно сказать, как это скажется впоследствии на их отношениях, но, в принципе, такие случаи бывают. (На эту тему даже анекдот есть, но это потом.)
Дети, рожденные в таком браке, не будут евреями, что, в принципе, никак не влияет на их права в Израиле, кроме вопросов, связанных с браком, и (не про нас будь сказано!) похоронами.
Теперь рассмотрим второй вариант, когда женщина приходит гиюр, то есть, процесс присоединения к еврейскому народу. Это довольно долгий процесс, не менее года. Он включает в себя изучение основ иудаизма, экзамен, погружение в микву (ритуальный бассейн), но если все проделано по правилам, то она становится еврейкой, и дети ее (рожденные после гиюра) тоже будут считаться евреями.
В этом случае тоже возможны некоторые сложности.
Прежде всего, если мужчина является коэном (прямым потомком по мужской линии первосвященника Аарона), то он не может жениться на гиёрет, т. е. той, кто прошла гиюр. Тут обсуждать нечего: нет, и всё. Тогда только по первому варианту.
Если он не коэн, то брак возможен, но вопрос - как примет ее его семья. Тут всякое возможно, но мне лично известны случаи таких браков, вполне удачных и счастливых. Но бывает и наоборот - еврейская мама становится в позу, впрочем, тут многое зависит от невестки, как она сумеет выстроить отношения.
Теперь обещанный анекдот: