Данный по условию синус угла ВАС=0,25, ⇒ угол ВАС меньше 30°, чей синус равен 0,5, поэтому
<span> <u>∆ АСВ - тупоугольный</u>. Высота АН будет проведена к продолжению ВС. </span>
Опустим высоту СM на АВ.
АВ= 2 АM
B треугольникe САM катет АM=АС•cos∠BAC.
Найдем cos∠BAC из основного тригонометрического тождества:
cos∠BAC=√(1-sin²∠BAC)=√(1-1/16)=
АМ==60
<span>AВ=2•60=120 </span>
∆ ACB - равнобедренный, углы А и С равны. ⇒ равны их синусы.
АН=АВ•sin НВА
АН=120•0,25=30 (ед. длины)
1.
а) Пусть Н - середина АС, тогда ЕН - средняя линия ΔАВС,
ЕН║СВ, ⇒ ЕН⊥АС.
ЕН - проекция наклонно МН на плоскость АВС, значит и
МН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Значит МН - искомое расстояние от точки М до прямой АС.
ЕН = ВС/2 = 16/2 = 8 см
ΔМЕН: ∠МЕН = 90°, по теореме Пифагора
МН = √(МЕ² + ЕН²) = √(80 + 64) = √144 = 12 см
б) Sacm = 1/2 ·AC · MH = 1/2 · 16 · 12 = 96 см²
ΔАСЕ - проекция ΔАСМ на плоскость АВС.
Sace = 1/2 ·AC · EH = 1/2 · 16 · 8 = 64 см²
в) ВС ⊂ АВС, ЕМ ∩ АВС = Е, Е ∉ ВС, ⇒
ЕМ и ВС - скрещивающиеся.
Пусть К - середина ВС, тогда ЕК - средняя линия ΔАВС,
ЕК║АС, значит ЕК⊥ВС.
МЕ⊥ЕК, так как МЕ ⊥АВС, а ЕК ⊂ АВС.
ЕК - перпендикуляр и двум скрещивающимся прямым, значит
ЕК - искомое расстояние между прямыми МЕ и ВС.
ЕК = АС/2 = 16/2 = 8 см (как средняя линия ΔАВС)
2.
AВ⊥АD, так как ABCD - квадрат.
АВ - проекция АВ₁ на плоскость основания, значит
АВ₁⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
∠В₁АВ - линейный угол двугранного угла В₁ADB - искомый.
Пусть а - ребро основания.
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
а² + а² = 72
2а² = 72
а² = 36
а = 6 см
ΔВ₁АВ: ∠В₁ВА = 90°,
cos∠В₁АВ = AB/AB₁
cos∠В₁АВ = 6 / (4√3) = 3 / (2√3) = 3√3 / 6 = √3/2
∠В₁АВ = 30°
Пусть авсд равнобокая трапеция , докажем что углы трапеции при основании СД равны. проведем через вершину В прямую параллельную стороне АД. Она пересечёт луч ДС в некоторой точке Е. четырёхугольник АВЕД параллелограмм. по свойству параллелограмма ВЕ=АД.по условию АД=ВС (трапеция равнобокая) значит треугольник ВСЕ равнобедренный с основанием ЕС . Углы треугольника и трапеции при вершине С соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. поэтому угол АДС=углу ВСД чтд
Так как прямой угол равен 90, пусть один угол - х, тогда другой - 4х,
х + 4х = 90
5х = 90
х = 18 - это первый угол, тогда второй угол равен 18*4=72