Решение
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2<span>r<hb a </span>, т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2<span>r </span>, <span>a </span>, <span>b </span>и <span>c </span>образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностьюd>0 . Ясно, что a=2<span>r+d </span>, b=2r+2<span>d </span>, c=2r+3<span>d </span>и <span>p==</span>3r+3<span>d </span>. Поскольку в любом треугольнике <span>S=pr </span>и <span>S= </span>, то <span>pr= </span>или <span>pr2=</span>(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через <span>r </span>и <span>d </span>получим
<span>(3r+3d)<span>r2=</span>(r+2d)(r+d)r,</span>
<span>откуда </span>3r=r+2<span>d </span><span>, т.е. </span><span>r=d </span><span>, так как </span>r>0 <span>, </span>r+d>0 <span>. Следовательно, стороны равны </span>3<span>r </span><span>, </span>4<span>r </span><span>, </span>5<span>r </span><span>.
</span>
Ответ
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).