Question

Вычислить определенный интеграл (2x^2+4x+7)cos2xпределы наверху-пивнизу-0

Answer 1

$\int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \, dx$
интегрируем по частям
$u=(2x^2+4x+7) \\ du=(4x+4)dx \\ dv=cos2x\,dx \\ v=0.5sin2x$
Тогда
$\int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \,dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5\int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx$
Получившийся интеграл опять интегрируем по частям
$u=(4x+4) \\ du=4dx \\ dv=sin2x\,dx \\ v=-0.5cos2x \\ \int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx =-0.5(4x+4)cos2x+0.5\int\limits^ \pi _0 {4cos2x} \, dx = \\ =-0.5(4x+4)cos2x+2\int\limits^ \pi _0 {cos2x} \, dx = \\ =-0.5(4x+4)cos2x+sin2x$
Окончательно получаем
$\int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \,dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5\int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5(-0.5(4x+4)cos2x+sin2x)|_0^ \pi = \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x+(x+1)cos2x-0,5sin2x|_0^ \pi = \\ = \pi +1-( \pi +1)=0$