Question

20 баллов!

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСД пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=24, BF=7.
Крайне желательно ваше объяснение!

Answer 1

$ABCD -$ трапеция

$AF=24$

$BF=7$

$AE,$  $BH$ -  биссектрисы   $\ \textless \ A$  и  $\ \textless \ B$ при боковой стороне $AB$

Проведём биссектрисы   $\ \textless \ A$  и  $\ \textless \ B:$

$AE$ ∩ $BC=E$

$BH$ ∩ $AD=H$

$AE$ ∩ $BH=F$

$\ \textless \ BAE=\ \textless \ DAE$ ( $AE$ - биссектриса )

$\ \textless \ ABH=\ \textless \ CBH$  ( $BH$ - биссектриса )

$BC$ ║ $AD$ и $AE$ - секущая, значит $\ \textless \ DAE=\ \textless \ BEA$ ( как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей ), 

 $\ \textless \ DAE=\ \textless \ EAB$,  следовательно $\ \textless \ EAB=\ \textless \ BEA$

тогда Δ $ABE$ -  равнобедренный, значит $BF$  - высота , т. е.  $BF$ ⊥ $AE$

Δ $AFB$ - прямоугольный

по теореме Пифагора найдём $AB$:

$AB^2=AF^2+BF^2$

$AB^2=24^2+7^2$

$AB^2=576+49$

$AB^2=625$

$AB=25$

Ответ: $25$