1)
![3xi-4+5y=9i+2x+3yi](https://tex.z-dn.net/?f=3xi-4%2B5y%3D9i%2B2x%2B3yi++)
Соберём мнимые и вещественные части вместе:
![(5y-4) + 3xi = 2x + (3y+9)i](https://tex.z-dn.net/?f=%285y-4%29+%2B+3xi+%3D+2x+%2B+%283y%2B9%29i+)
Мнимые и вещественные части д.б. равны, отсюда получаем систему уравнений, которую решаем:
![\left \{ {{5y-4=2x} \atop {3x=3y+9}} \right. \\ \\ x = y + 3 \\ \\ 5y - 4 = 2(y + 3) \\ 5y - 4 = 2y + 6 \\ 3y = 10 \\ \\ y= \frac{10}{3}; \:\:\:\:\: x = \frac{10}{3} + 3 = \frac{19}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B5y-4%3D2x%7D+%5Catop+%7B3x%3D3y%2B9%7D%7D+%5Cright.++%5C%5C++%5C%5C+x+%3D+y+%2B+3++%5C%5C++%5C%5C++5y+-+4+%3D+2%28y+%2B+3%29++%5C%5C+5y+-+4+%3D+2y+%2B+6+%5C%5C+3y+%3D+10+%5C%5C++%5C%5C+y%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%3B++%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A+x+%3D++%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D+%2B+3+%3D+%5Cfrac%7B19%7D%7B3%7D+)
2)
![\frac{2i^5}{1+i^{17}}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2i%5E5%7D%7B1%2Bi%5E%7B17%7D%7D++)
Возведём мнимую единицу в соответствующую степень, учитывая, что:
![i^2 = -1; \:\:\:\:\:\: i^4 = 1](https://tex.z-dn.net/?f=i%5E2+%3D+-1%3B+%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A+i%5E4+%3D+1)
![\frac{2i^5}{1+i^{17}} = \frac{2i*i^4}{1+i*i^{16}} = \frac{2i}{1+i}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2i%5E5%7D%7B1%2Bi%5E%7B17%7D%7D+%3D++%5Cfrac%7B2i%2Ai%5E4%7D%7B1%2Bi%2Ai%5E%7B16%7D%7D++%3D++%5Cfrac%7B2i%7D%7B1%2Bi%7D+)
Деление мнимых чисел производится умножением числителя и знаменателя на выражение сопряжённое со знаменателем.
![\frac{2i}{1+i} = \frac{2i}{1+i} * \frac{1-i}{1-i} = \frac{2i - 2i*i}{1-i^2} = \frac{2i+2}{1+1} = i + 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2i%7D%7B1%2Bi%7D+%3D+%5Cfrac%7B2i%7D%7B1%2Bi%7D+%2A+%5Cfrac%7B1-i%7D%7B1-i%7D+%3D+%5Cfrac%7B2i+-+2i%2Ai%7D%7B1-i%5E2%7D+%3D++%5Cfrac%7B2i%2B2%7D%7B1%2B1%7D+%3D+i+%2B+1)
Вещественная часть комплексного числа равна a = 1, мнимая часть тоже равна b = 1.
Найдём модуль комплексного числа |z|:
![|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cz%7C+%3D+%5Csqrt%7Ba%5E2+%2B+b%5E2%7D+%3D++%5Csqrt%7B1%5E2+%2B+1%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B2%7D)
Найдём аргумент комплексного числа, используя формулу:
![arg(z) = \phi = arctg \frac{b}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=arg%28z%29+%3D+%5Cphi+%3D+arctg+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+)
При этом надо учитывать следующие случаи:
1. если a>0, то
![\phi = arctg \frac{b}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cphi+%3D+arctg+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D)
2. если a<0 и b>0, то
![\phi = \pi + arctg \frac{b}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cphi+%3D++%5Cpi+%2B+arctg+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D)
3. если a<0 и b<0, то
![\phi = - \pi +arctg \frac{b}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cphi+%3D+-+%5Cpi+%2Barctg+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D)
У нас первый случай:
![\phi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{1}{1} = arctg 1 = \frac{ \pi }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cphi+%3D+arctg+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%3D+arctg+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+%3D+arctg+1+%3D++%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D+)
Отсюда, тригонометрическая форма будет такая:
![z = |z|* (cos \phi + isin \phi) = \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{4} + isin \frac{ \pi }{4} )](https://tex.z-dn.net/?f=z+%3D+%7Cz%7C%2A+%28cos+%5Cphi+%2B+isin+%5Cphi%29+%3D++%5Csqrt%7B2%7D+%28cos+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D+%2B+isin+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D+%29)
3)
![\frac{(1-i)^5}{(1+i)^3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%281-i%29%5E5%7D%7B%281%2Bi%29%5E3%7D+)
Делаем аналогично.
![\frac{(1-i)^5}{(1+i)^3} = \frac{1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5}{1+3i+3i^2+i^3} = \\ \\ = \frac{1-5i-10+10i+5-i}{1+3i-3-i} = \frac{-4+4i}{-2+2i} = \frac{-4(1-i)}{-2(1-i)} = 2 \\ \\ a = 2; \:\:\:\:\:\: b = 0 \\ \\ |z| = \sqrt{2^2+0^2} = 2 \\ \\ \phi = arctg \frac{0}{2} = 0 \\ \\ z = 2(cos0 + isin0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%281-i%29%5E5%7D%7B%281%2Bi%29%5E3%7D+%3D++%5Cfrac%7B1-5i%2B10i%5E2-10i%5E3%2B5i%5E4-i%5E5%7D%7B1%2B3i%2B3i%5E2%2Bi%5E3%7D+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D++%5Cfrac%7B1-5i-10%2B10i%2B5-i%7D%7B1%2B3i-3-i%7D+%3D++%5Cfrac%7B-4%2B4i%7D%7B-2%2B2i%7D+%3D+%5Cfrac%7B-4%281-i%29%7D%7B-2%281-i%29%7D+%3D+2++%5C%5C++%5C%5C+a+%3D+2%3B+%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A+b+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+%7Cz%7C+%3D++%5Csqrt%7B2%5E2%2B0%5E2%7D+%3D+2+%5C%5C++%5C%5C+%5Cphi+%3D+arctg+%5Cfrac%7B0%7D%7B2%7D+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+z+%3D+2%28cos0+%2B+isin0%29+)
500-120(блокнот) -39(ручка)-95(ножницы)=246
246 тенге останется.
1. Из пункта А в пункт В со скоростью 100 км/ч выехал легковой автомобиль. Через 5 часов он уже приехал в пункт В. Какое расстояние от А до В?
2. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль, который приехал в пункт В за 5 часов. При этом длина всего пути от А до В было 500 км. С какой скоростью ехал автомобиль?
3. Из пункта А в пункт В со скоростью 100 км/ч выехал легковой автомобиль. Известно, что длина всего маршрута составляет 500 км. Через сколько часов он приедет в пункт В?