Дана функция
1. Найти область определения
функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - это точка х = -1.
2. Выяснить, является ли функция
четной или нечетной.
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Выяснить, является ли функция
периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика
с осями координат (нули функции).
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = 0.
Решаем это уравнение.
Точки пересечения с осью X: x_{1} = 2.
5. Найти асимптоты графика.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. <span>
</span><span>
Находим коэффициент k: </span><span>
</span> Находим коэффициент b:
<span>
Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x - 5.</span>
<span>
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки
разрыва:
<span>x1<span> = -1</span></span>
Находим пределы в точке -1. Они равны +-</span>∞.
<span>Поэтому точка <span>x1<span> = -1 является вертикальной асимптотой.</span></span></span>
6. Вычислить производную функции f'(x)
и определить критические точки.
Приравниваем нулю производную и получаем 2 корня х = 2 и х = -4 и четыре промежутка значений производной (с учётом разрыва функции в точке х = -1): (-∞; -4), (-4; -1), (-1; 2), (2; +∞).
Определяем знак производной на полученных промежутках:
<span>
<span><span>
х =
-5
-4 -3
-1 0 2 3
</span>
<span>
y' = 0,4375
0
-1,25
-
-8 0
0,4375.</span></span></span>
7. Найти промежутки монотонности
функции.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна -
там убывает.
х ∈ (-∞; -4) ∪ (2; +∞) - функция возрастает,
х ∈ (-4; -1) ∪ (-1; 2) - функция убывает.
8. Определить экстремумы функции f(x).
<span>Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где
производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс
- точки минимума.
В точке х = -4 (знак с + на -) это максимум,</span>
<span>в точке х = 2 (знак с - на +) это минимум.</span>
9. Вычислить вторую производную f''(x) = 18/(x+1)³.
10. Определить направление
выпуклости графика и точки перегиба.
Так как вторая производная в области определения не может быть равной нулю, то функция не имеет перегибов.
11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Он дан в приложении.