Скорость плота равна скорости реки, т.е. 5 км/ч. Найдём время в течение которого плот прошёл 30 км:
![t= \frac{S}{v_{p} }= \frac{30}{5}=6](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+%5Cfrac%7BS%7D%7Bv_%7Bp%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B30%7D%7B5%7D%3D6+)
ч.
Известно, что лодка вышла через 1 час после плота, значит на всё время следования из А в В и обратно она потратила 6-1=5 часов. Путь, который прошла лодка, можно записать в виде:
![S_{l}=v _{AB}*t _{AB} +v_{BA}*t _{BA}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bl%7D%3Dv+_%7BAB%7D%2At+_%7BAB%7D+%2Bv_%7BBA%7D%2At+_%7BBA%7D++++)
Здесь
![v _{AB}*t _{AB}](https://tex.z-dn.net/?f=v+_%7BAB%7D%2At+_%7BAB%7D++)
скорость и время движения лодки по течению реки (из А в В), а
![v_{BA}*t_{BA}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7BBA%7D%2At_%7BBA%7D++)
- скорость и время движения лодки против течения реки (из В в А).
Скорость лодки по течению реки можно записать как
![v_{AB}=v_{l}+v_{r}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7BAB%7D%3Dv_%7Bl%7D%2Bv_%7Br%7D+++)
, т.е. скорость самой лодки плюс скорость течения реки. А скорость лодки против течения реки:
![v_{BA}=v_{l}-v_{r}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7BBA%7D%3Dv_%7Bl%7D-v_%7Br%7D+++)
.
Подставляем эти формулы в формулу пути, который прошла лодка:
![S_{l}=(v_{l}+v_{r})t_{AB}+(v_{l}-v_{r})t_{BA}=](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bl%7D%3D%28v_%7Bl%7D%2Bv_%7Br%7D%29t_%7BAB%7D%2B%28v_%7Bl%7D-v_%7Br%7D%29t_%7BBA%7D%3D+++++++)
![=v_{l}t_{AB}+v_{r}t_{AB}+v_{l}t_{BA}-v_{r}t_{BA}=v_{l}(t_{AB}+t_{BA)}-v_{r}(t_{BA}-t_{AB})](https://tex.z-dn.net/?f=%3Dv_%7Bl%7Dt_%7BAB%7D%2Bv_%7Br%7Dt_%7BAB%7D%2Bv_%7Bl%7Dt_%7BBA%7D-v_%7Br%7Dt_%7BBA%7D%3Dv_%7Bl%7D%28t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%29%7D-v_%7Br%7D%28t_%7BBA%7D-t_%7BAB%7D%29++++++++++++++)
.
Путь пройденный лодкой из А в В равен пути пройденному из В в А, значит можно записать выражение:
![(v_{l}+v_{r})t_{AB}=(v_{l}-v_{r})t_{BA}](https://tex.z-dn.net/?f=%28v_%7Bl%7D%2Bv_%7Br%7D%29t_%7BAB%7D%3D%28v_%7Bl%7D-v_%7Br%7D%29t_%7BBA%7D++++++)
![v_{l}t_{AB}+v_{r}t_{AB}=v_{l}t_{BA}-v_{r}t_{BA}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bl%7Dt_%7BAB%7D%2Bv_%7Br%7Dt_%7BAB%7D%3Dv_%7Bl%7Dt_%7BBA%7D-v_%7Br%7Dt_%7BBA%7D++++++++)
![v_{l}(t_{BA}-t_{AB})= v_{r}(t_{AB}+t_{BA})](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bl%7D%28t_%7BBA%7D-t_%7BAB%7D%29%3D++v_%7Br%7D%28t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%7D%29++++)
/
Отсюда находим разность
![t_{BA}-t_{AB}= \frac{v_{r} }{v_{l} } (t_{AB}+t_{BA})](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7BBA%7D-t_%7BAB%7D%3D+%5Cfrac%7Bv_%7Br%7D+%7D%7Bv_%7Bl%7D+%7D+%28t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%7D%29++++)
Подставляем эту разность в формулу всего пути, пройденного лодкой и получим:
![S_{l}=v_{l}(t_{AB}+t_{BA})- \frac{v_{r}^2 }{v_{l} }(t_{AB}+t_{BA})](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bl%7D%3Dv_%7Bl%7D%28t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%7D%29-+%5Cfrac%7Bv_%7Br%7D%5E2+%7D%7Bv_%7Bl%7D+%7D%28t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%7D%29)
![t_{AB}+t_{BA}](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7BAB%7D%2Bt_%7BBA%7D++)
- это время, затраченное лодкой на весь путь и оно, как мы нашли ранее, равно 5 часам. Подставляем все значения в формулу, учитывая что весь путь лодки это 60+60=120км. Для удобства заменим
![v_{l}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bl%7D+)
на х:
![5x- \frac{125}{x}=120](https://tex.z-dn.net/?f=5x-+%5Cfrac%7B125%7D%7Bx%7D%3D120+)
![5x^2-120x-125=0](https://tex.z-dn.net/?f=5x%5E2-120x-125%3D0)
![x^2-24x-25=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-24x-25%3D0)
Решаем квадратное уравнение:
![D=b^2-4ac=24^2-4*1*(-25)=676](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D24%5E2-4%2A1%2A%28-25%29%3D676)
![x_{1}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{24+26}{2}=25](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3D+%5Cfrac%7B-b%2B+%5Csqrt%7BD%7D+%7D%7B2a%7D%3D+%5Cfrac%7B24%2B26%7D%7B2%7D%3D25+++)
![x_{2}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{24-26}{2}=-1](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7B-b-+%5Csqrt%7BD%7D+%7D%7B2a%7D%3D+%5Cfrac%7B24-26%7D%7B2%7D%3D-1+++)
.
Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 25 км/ч