Question

Помогите с тригонометрией

Answer 1

$\frac{1}{ \sqrt{2} }(sin2x-sin4x)-(sinx-cosx)*cos3x=0$
Есть такие формулы
1) sin 2x = 2sin x*cos x; sin 4x = 2sin 2x*cos 2x
2) sin 2x - sin 4x = sin 2x*(1 - 2cos 2x) = sin 2x*(1 - 2(2cos^2 x - 1)) =
= sin 2x*(1 - 4cos^2 x + 2) = sin 2x*(3 - 4cos^2 x)
3) $sinx-cosx= \sqrt{2}*( \frac{1}{ \sqrt{2} }*sinx- \frac{1}{ \sqrt{2} }*cosx)=$
$= \sqrt{2}(cos \frac{pi}{4}*sin x-sin \frac{pi}{4}*cosx) = \sqrt{2}*sin( \frac{pi}{4} -x)$
4) cos 3x = cos x*(4cos^2 x - 3)
Подставляем
$\frac{1}{ \sqrt{2} }*sin2x(3-4cos^2x)- \sqrt{2}* sin( \frac{pi}{4} -x)*cosx*(4cos^2x-3)=0$
Умножаем всё на √2 и немного преобразуем
$-2sinx*cosx(4cos^2x-3)- 2sin( \frac{pi}{4} -x)*cosx*(4cos^2x-3)=0$
Выносим за скобки общие множители
$-2cos3x*(sinx+ sin( \frac{pi}{4} -x))=0$
1) cos 3x = 0; 3x = pi/2 + pi*k; x = pi/6 + pi/3*k
Промежутку [pi/2; 3pi/2] принадлежат корни
x1 = pi/6+pi/3 = pi/2; x2 = pi/6+2pi/3 = 5pi/6;
x3 = pi/6+pi = 7pi/6; x4 = pi/6+4pi/3 = 9pi/6 = 3pi/2
2) sin x + sin(pi/4 - x) = 0
Есть еще одна формула
$sin a + sin b=2sin \frac{a+b}{2}*cos \frac{a-b}{2}$
Подставляем
$2sin \frac{x+pi/4-x}{2}*cos \frac{x-pi/4+x}{2}=2sin \frac{pi}{8}*cos(x- \frac{pi}{8} ) =0$
cos (x - pi/8) = 0; x - pi/8 = pi/2 + pi*k; x2 = 5pi/8 + pi*k
Промежутку [pi/2; 3pi/2] принадлежит корень x5 = 5pi/8
Ответ: pi/2; 5pi/8; 5pi/6; 7pi/6; 3pi/2