Question

Вот так выглядит уравнение, решите пожалуйста, подробно , расписав действия

Answer 1

Вычислить предел
$\lim_{n \to \infty} ( \frac{n^2+n+1}{n^2+n-1} )^{-n^2}$

Решение
При вычислении предела применяем второй замечательный предел
$\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^n=e$

$\lim_{n \to \infty} ( \frac{n^2+n+1}{n^2+n-1} )^{-n^2}=\lim_{n \to \infty} ( \frac{n^2+n-1+2}{n^2+n-1} )^{-n^2}=$$\lim_{n \to \infty} ( \frac{n^2+n-1}{n^2+n-1}+ \frac{2}{n^2+n-1} )^{-n^2}=\lim_{n \to \infty} ( 1+ \frac{1}{ \frac{n^2+n-1}{2}}} )^{-n^2}=$$\lim_{n \to \infty} ( 1+ \frac{1}{ \frac{n^2+n-1}{2}}} )^{\frac{n^2+n-1}{2}*\frac{2}{n^2+n-1}*(-n^2)}=e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2}{n^2+n-1} }=$$e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{1+ \frac{1}{n}- \frac{1}{n^2} } }=e^{-2}= \frac{1}{e^2}$

Ответ: 1/е²