<span>Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.</span><span>1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть </span><span>2) Формулы площади треугольника
</span><span> ,</span><span>где (Формула Герона)</span><span>, где r- вписанной окружности</span><span>, где R — радиус описанной окружности</span>3) Подобие треугольников<span>Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и </span><span>Обозначение: </span><span>4) Признаки подобия двух треугольников
</span><span>1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.</span><span>
Коротко: если , то </span><span>
2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны</span><span>Коротко: если и , то </span><span>3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть</span><span>
Коротко: если , то </span>5) Свойства подобных треугольников<span>если , то</span><span>, где</span><span> и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)</span><span> и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)</span><span> и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)</span>6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла<span>Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
</span><span>
7) Свойство медиан в треугольнике.</span><span>Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть</span><span>
</span><span>
Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),</span><span>То есть </span><span>
Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть</span><span>
</span><span>8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.</span><span>То есть </span><span>Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.</span>9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:<span>Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.</span><span>10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.</span><span>То есть </span>11) Средняя линия треугольника<span>Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.</span><span>То есть и </span><span>
12) Теорема синусов и теорема косинусов</span><span>
Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.</span><span>То есть </span><span>Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
</span><span>13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице</span><span>То есть </span><span>Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.</span><span>14) Теорема Чевы
</span><span>Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
</span>
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1)200:10*9=180 (шн) )не подходят Сове
2) 200:4*3=150(шн) не подходят Иа.
2)200-180=20(шн) подходит сове.
3) 200-150=50(шн) подходят Иа.
4)180-50=130(шн) не подходят Сове и ИА.
5) 150-20=130(шн) не подходят Сове и Иа. Наименьшее, оно же и единственное-130 шнурков не подходит Сове и Иа одновременно. Ответ:130 шнурков.
