Question

Обозначим через x количество цифр числа 2^2019, а через y количество цифр числа 5^2019. Найдите чему равно x+y.

Answer 1

Нам известно, что 2²⁰¹⁹ * 5²⁰¹⁹ = 10²⁰¹⁹, а 10²⁰¹⁹ точно имеет 2020 цифр.

Пусть p - такое число, что 10^p < 2²⁰¹⁹ < 10^(p+1), а q - аналогичное число для 5²⁰¹⁹.

Представим 2²⁰¹⁹ в виде 10^p + s, а 5²⁰¹⁹ - в виде 10^q + t, тогда:

10²⁰¹⁹ = (10^p + s) * (10^q + t)

10²⁰¹⁹ = 10^(p+q) + t * 10^p + s * 10^q + s * t

p + q < 2019 (иначе 10^(p+q) уже равно 10²⁰¹⁹)

p + q > 2017, докажем это. Пусть это не так, тогда:

t * 10^p + s * 10^q + s * t ≥ 10²⁰¹⁹ - 10²⁰¹⁷ ≥ 99 * 10^(p + q)

s < 9 * 10^p (по выбору p)

t < 9 * 10^q (по выбору q)

s * t < 81 * 10^(p+q)

s * 10^q < 9 * 10^(p+q)

t * 10^p < 9 * 10^(p+q)

t * 10^p + s * 10^q + s * t < 99 * 10^(p+q)

Противоречие. Значит, p + q > 2017. Значит, p + q = 2018. Так как x равен p + 1, y равен q + 1 (по выбору p и q), то x + y = p + q + 2 = 2020.

Ответ: 2020.