Правильное написание - расследовать.
Если глагол в первом лице единственного числа настоящего или будущего времени оканчивается на "-ую", "-юю", то в инфинитиве (неопределённой форме) и в прошедшем времени пишутся суффиксы "-ова-" и "-ева-":
бесед-ую/бесед-ова-ть/бесед-ова-л,
расслед-ую/расслед-ова-ть/расслед-ова-л,
дирижир-ую/дирижир-ова-ть/дирижир-ова-л,
во-юю/во-ева-ть/во-ева-л.
Если глагол в первом лице единственного числа настоящего или будущего времени оканчивается на "-иваю", "-ываю без ударения на гласную "а", то в неопределённой форме и в прошедшем времени пишутся суффиксы "-ива-" и "-ыва-":
рассаж-ива-ю/рассаж-ива-ть/рассаж-ива-л,
рассказ-ыва-ю/рассказ-ыва-ть/рассказ-ыва-л,
завоёв-ыва-ю/завоёв-ыва-ть/завоёв-ыва-л,
обеспеч-ива-ю/обеспеч-ива-ть/обеспеч-ива-л.
Мне поручили расследовать это загадочное дело.
Мне очень хотелось расследовать тайны этой пещеры.