Question

Квадрат вписан в круг. На сторонах квадрата, как на диаметрах построены полукруги. Четыре попарных пересечения этих кругов образуют фигуру «цветок». Докажите, что общая площадь «цветка» равна площади части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата.

Answer 1

Площадь сегмента:
S= r^2(пa/180° -sina)/2

Площадь красного сегмента (Sк):
r1= x/2 (половина стороны квадрата)
a2=90°
Sк= (x/2)^2 *(п*90°/180° -sin90°)/2 =x^2(п/2 -1)/8
Sцветка= 8Sк =x^2(п/2 -1)

Площадь синего сегмента (Sс):
r2= x√2/2 (половина диагонали квадрата)
a2=90°
Sс= (x√2/2)^2 *(п*90°/180° -sin90°)/2 =x^2(п/2 -1)/4
Sвнешней_части= 4Sс =x^2(п/2 -1) =Sцветка

ИЛИ
Красный сегмент подобен синему (по равенству углов). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэф. подобия в данном случае равен отношению стороны квадрата к его диагонали, то есть √2. Следовательно, площадь синего сегмента в 2 раза больше площади красного. "Цветок" состоит из 8 красных сегментов. "Внешняя часть" состоит из 4 синих сегментов. Равенство площадей очевидно.