1. Умножаем почленно:
x²- 2x- 4x+ 8< 0;
x²- 6x+ 8< 0;
[Квадратное уравнение типа: ax²+ bx+ c= 0]
D= b²- 4ac= 36- 4* 8= 4= 2².
x₁=
![\frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= 2;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B-b-+%5Csqrt%7BD%7D+%7D%7B2a%7D%3D+2%3B)
x₂=
![\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= 4;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B-b%2B++%5Csqrt%7BD%7D+%7D%7B2a%7D%3D+4%3B+)
Либо по теореме Виета (если уравнение приведенное (a= 1)):
x₁* x₂= c;
x₁+ x₂= -b;
В данном случае:
x₁* x₂= 8;
x₁+ x₂= 6.
Ответ неравенства:
x< 2;
x< 4.
x< 2 - включает оба ответа.
[Можно нарисовать ось x, отмечаем на ней 2 и рисуем косые риски, куда показивает знак неравенства. Зарисованая область и будет множеством]
x ∈ (-∞; 2).
[Ещё способ: квадратное уравнение типа ax²+ bx+ c= 0 можно переписать (x- x₁)(x- x₂)= 0. То есть нам уже известные корни, тогда:
x< 4; x< 2]
2. Область допустимых значений (или область определения):
[Выражение под знаком логарифма большее 0]
x> 0.
Сделаем с 1 логарифм с основанием как в первого логарифма (4):
4¹= 4. Поэтому:
1= log₄4.
Получаем неравенство:
log₄x> log₄4;
Основания равные, поэтому можно приравнять выражения.
Основание больше 1, знак неравенства остается прежний.
Если б основание было меньше 1, знак поменялся б.
[a= 4> 1 - фунция растущая (знак остается прежний)]
x> 4
x ∈ (4; +∞).
3. [
![(\frac{1}{2}) ^{-1}= 2.](https://tex.z-dn.net/?f=+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29+%5E%7B-1%7D%3D++2.)
. То есть, если степень с минусом в результате переворачивает дробь и подносится без минуса]
Сделаем с
![\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+)
2.
![( \frac{1}{2}) ^{-1}= 2](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29+%5E%7B-1%7D%3D+2+)
Получаем неравенство:
![2^{-x+ 1}\ \textless \ 2^{-1}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B-x%2B+1%7D%5C+%5Ctextless+%5C+2%5E%7B-1%7D+)
Основания равны (2), можем приравнять степени.
a= 2> 1 - функция растущая (знак остается прежний).
-x+ 1< -1;
-x< -2;
[Чтобы убрать минус перед x меняем знак неравенства]
x> 2;
x ∈ (2; +∞).
4.
![\frac{ (x- 4)^{2} }{x- 2}\ \textless \ 0;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%28x-+4%29%5E%7B2%7D+%7D%7Bx-+2%7D%5C+%5Ctextless+%5C++0%3B+)
ОДЗ:
[знаменатель не может быть равным 0, потому что на 0 делить нельзя]
x не может равнятся 2, потому что тогда будет 2- 2= 0, запрещенный вариант.
Разкроем скобки в числителе согласно формул сокращенного умножения:
x²- 8x+ 16< 0;
D= 64- 4* 16= 0;
[Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет два совпадающих корня, то есть по факту один]
x= 4.
То есть x< 4
Теперь к знаменателю:
В принципе знаменатель может приобретать любые значения, кроме 2.
Но также x не может равнятся 3, потому что в этом случае в знаменателе и в числителе будет 1, в результате дроба 1, что не меньше 0.
Общий результат:
x ∈ (-∞; 2) ∪ (2; 3).