Question

98 БАЛЛОВ! ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ! Пожалуйста, помогите решить; заранее спасибо!
Найдите и сформулируйте закономерность:
1 = 1;
3 + 5 = 8;
7 + 9 + 11 = 27;
13 + 15 + 17 + 19 = 64;
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125;
и так далее.
А теперь докажите, что сформулированное Вами правило для этой закономерности всегда верно [без доказательства ответ не принимается!].

P. s. Понятно, что каждый раз получаются кубы натуральных чисел. Но как это доказать???

Answer 1

Куб натурального числа n можно представить в виде n слагаемых, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2.

Доказательство:

Если n — число нечётное:

Пусть средний член равен n². Тогда сумма членов этой прогрессии равна n² + n² - 2 + n² + 2 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.

Если n — число чётное:

Пусть средние члены (по счёту n/2 и n/2 + 1) равны n²-1 и n²+1. Сумма членов прогрессии равна: n² - 1 + n² + 1 + n² - 3 + n² + 3 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.

Во всех возможных случаях мы смогли представить куб натурального числа в виде n слагаемых, что и требовалось доказать.