Question

Задача 5. На отрезке AC отмечена точка B. На отрезках AB, BC и AC, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности. Окружность с цен- тром в точке O касается всех этих полуокружностей (см. рис.). Найдите радиус этой окружности, если AB = 4, BC = 2. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.

Answer 1

 Положим что радиусы AB,BC AC и некой окружности равны r1=2,r=12,r3=3, r4=x
 Это окружность будет строго внутри данных полуокружностей , воспользуемся теоремой Декарта, утверждает что если окружность касаются в 6 различных точках то, для нее справедлива уравнение  
 (1/r1+1/r2+1/r3+1/x)^2=2(1/r1^2+1/r2^2+1/r3^2+1/x^2)  
 Но так как окружность построенная как на диаметре AC касается  внутренним образом то знак перед 1/r3 ставится отрицательный , то 
(1/2+1-1/3+1/x)^2 = 2*(1/4+1+1/9+1/x^2) 
 (7/6+1/x)^2=2*(49/36+1/x^2)  
(7x-6)^2/(36x^2)=0 
 x=6/7 
 Ответ r4=6/7  или  r4=0.86