Question

В треугольнике ABC провели биссектрису BD, а в треугольнике ABD и CBD - биссектрисы DE и DF соответственно. Оказалось, что EF параллельна AC. Найдите угол DEF

Answer 1

Обозначим половинки угла АВС - х,
половинки угла ADB - у,
половинки угла BDC - z.

Развернутый угол ADC состоит из двух углов у и двух углов z:
2(y + z) = 180°
y + z = 90°, т.е. ∠EDF = 90°.

Так как EF║AC, ∠FED = ∠ADE = y как накрест лежащие при пересечении EF║AC секущей DE,
тогда ΔOED равнобедренный, ОЕ = OD.

∠OFD = ∠CDF = z как накрест лежащие при пересечении EF║AC секущей DF
Тогда ΔODF равнобедренный, OD = OF.

Т. е. OE = OD = OF.

В треугольнике EBF ВО - биссектриса является медианой, значит треугольник равнобедренный,  BE = BF.

Но тогда ВО еще и высота треугольника BEF, значит ВО⊥EF, а следовательно и BO⊥AC.

Тогда 2y = 2z = 90°, ⇒ y = z = 45°.
∠DEF = 45°