<span><u>Задание.</u> Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.
Решение:Из условия нужно доказать, что </span>
![3^n+3^{n+1}+3^{n+2}](https://tex.z-dn.net/?f=3%5En%2B3%5E%7Bn%2B1%7D%2B3%5E%7Bn%2B2%7D)
делится без остатка на 117 при любом натуральном
![n \geq 2](https://tex.z-dn.net/?f=n+%5Cgeq+2)
.
Докажем методом математической индукции.
1) Базис индукции (n=2)
При
![n=2](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D2)
получаем
![3^2+3^3+3^4=117](https://tex.z-dn.net/?f=3%5E2%2B3%5E3%2B3%5E4%3D117)
, т.е. утверждение справедливо.
2) Допустим, что и при
![n=k](https://tex.z-dn.net/?f=n%3Dk)
сумма
![3^k+3^{k+1}+3^{k+2}](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Ek%2B3%5E%7Bk%2B1%7D%2B3%5E%7Bk%2B2%7D)
делится на 117.
3) Индукционный переход (n=k+1)
![3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+3}=3\cdot3^k+3\cdot3^{k+1}+3\cdot 3^{k+2}=\\ \\ =3(3^k+3^{k+1}+3^{k+2}).](https://tex.z-dn.net/?f=3%5E%7Bk%2B1%7D%2B3%5E%7Bk%2B2%7D%2B3%5E%7Bk%2B3%7D%3D3%5Ccdot3%5Ek%2B3%5Ccdot3%5E%7Bk%2B1%7D%2B3%5Ccdot+3%5E%7Bk%2B2%7D%3D%5C%5C+%5C%5C+%3D3%283%5Ek%2B3%5E%7Bk%2B1%7D%2B3%5E%7Bk%2B2%7D%29.)
По предположению индукции
![3^k+3^{k+1}+3^{k+2}](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Ek%2B3%5E%7Bk%2B1%7D%2B3%5E%7Bk%2B2%7D)
делится на 117.
Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.