Question

Лодка массы m имеет начальную скорость v . Считая, что сила сопротивления равна
F = −rv , найдите
скорость лодки в функции времени и в функции пройденного пути.

Answer 1

Ответ: v(t)=v*e^(-r*t/m), v(s)=v+s*r/m-r*s(t)/m.

Объяснение:

По второму закону Ньютона, F=m*a*m*dv/dt. Отсюда следует уравнение m*dv/dt=-r*v, которое приводится к виду dv/dt=-r*v/m. Умножив обе части на dt и разделив на v, окончательно получаем dv/v=-r*dt/m. Интегрируя обе части, получаем ln/v/=-r*t/m+ln/C1/, где C1 - произвольная постоянная, не равная нулю. Отсюда v(t)=C1*e^(-r*t/m). Так как по условию v(0)=v, то отсюда следует уравнение v=C1. Тогда окончательно v(t)=v*e^(-r*t/m). Пройденный лодкой путь s=∫v(t)*dt=v*∫e^(-r*t/m)*dt=-v*m/r*∫e^(-r*t/m)*d(-r*t/m)=-v*m/r*e^(-r*t/m)+C2, где C2 - произвольная постоянная. Если положить s(0)=s, то получим уравнение s=-v*m/r+C2, откуда C2=s+v*m/r. Тогда окончательно s(t)=s+v*m/r*[1-e^(-r*t/m)]=s+v*m/r-m*v(t)/r. Отсюда m*v(t)/r=s+v*m/r-s(t) и тогда v(t)=v+s*r/m-r*s(t)/m. Но так как по условию требуется найти v(s), то отсюда v(s)=v+s*r/m-r*s(t)/m.