Комплексное число есть объект, составленных из двух действительных чисел, рассматриваемых как упорядоченная пара, для которого вводятся, аксиоматически вводятся, понятия "сложение" и "умножение". Всё. Никакой "мнимой единицы" или "корня из -1" поначалу нет, потому что прежде чем вычислять из чего-то корень, надо определить, как это делать.
"Упорядоченная" тут означает, что два числа, входящие в пару, не эквивалентны друг другу, и что место, на котором стоит число в паре, имеет значение.
Ну а дальше уже можно говорить о том, почему там появляется "корень из -1".
Для начала следует обратить внимание на то, что результаты всех операций над комплексным и числами вида (а, 0) выглядят ровно так же, как и результаты операций над действительными числами, то есть второй компонент пары всегда остаётся нулевым. Тем самым множество комплексных чисел вида (а, 0) оказывается полностью эквивалентным множеству действительных чисел, что и позволяет рассматривать действительные числа как подмножество комплексных.
А вот теперь внимание: если умножение двух комплексных чисел (a1, b1) и (a2, b2) друг на друга определить как
(A, B) = (a1*a2-b1*b2, a1*b2+a2*b1)
и если учесть, что комплексное число с нулевым вторым компонентом есть число действительное, то и оказывается, что (0,1)*(0,1) = (-1, 0), то есть (0, 1) действительно можно трактовать как "корень из -1".
Значит, ещё раз, чтоб закрепить пройденное: мнимая часть комплексного числа - это не корень из -1. Оное свойство есть следствие определения того, что такое произведение двух комплексных чисел.
Ну и где применяется.
Во-первых, на множестве комплексных чисел оказывается разрешимым любое алгебраическое уравнение, даже такое, как х²+1=0. Которое на множестве действительных чисел решений, как известно, не имеет.
Во-вторых, комплексные числа помогают решить и множество других задач математики, от сходимости рядов и интегралов до решения дифференциальных уравнений.
В-третьих, они нашли широкое применение в физике, потому что позволили сильно упростить и сделать наглядным множество физических законов. От простейших, типа закона Ома для цепи с реактивными компонентами, через анализ оптических явлений до уравнений квантовой механики. Ведь волновая функция в уравнении Шрёдингера, фундаментальном уравнении квантовой механики, - это комплексная функция (физический смысл получает квадрат модуля волновой функции, но объектом уравнения выступает она сама, в комплексной своей ипостаси).
И есть ещё в-четвёртых, в-пятых и так далее...
