13) Дано уравнение 2cos² x - sin x = 0.
Заменим cos² x = 1 - sin² x.
Получим 2 - 2sin² x - sin x = 0 или 2sin² x + sin x - 2 = 0. Замена sin x = t.
2t² + t - 2 = 0. D = 1 + 4*2*2 = 17. t1 = (√17 - 1)/4 ≈ 0,78078.
t2 = (-√17 - 1)/4 ≈ -1,28078 >|1| не принимаем.
sin x = (√17 - 1)/4, х = (-1)^k * arc sin ((√17 - 1)/4) + πk, k ∈ Z.
Для заданного промежутка (-7π/2; -2π) есть только один корень при к = -3: х = -0,78078 + (-3)*3,14159 = -10,3207.
График двух функций приведен в приложении. Точка пересечения графиков - решение уравнения 2cos² x = sin x.
14) Надо найти уравнения заданных плоскостей.
Поместим призму вершиной А в начало координат, АВ по оси Оу.
А(0; 0; 0), С(4√3; 4; 0), С1(4√3; 4; 6).
А1(0; 0; 6), В1(0; 48; 6), N(2√3; 2; 0).
Уравнение АСС1: x - √3y = 0. √(A1² + B1² + C1²) = √(1 + 3) = 2
Уравнение А1B1N: x + (√3/3)z = 0.
√(A2² + B2² + C2²) = √(1 + (3/9) = 2/√3.
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
_______________________ =
√(A1² + B1² + C1²) *√(A2² + B2² + C2²)
1*1 + (-√3)*0 + 0*(√3/3)
= ___________________ = √3/4 = 0,4330127.
2*(2/√3)
Угол равен 1,12296393 радиан или 64,34109373 градуса
.
15) Дано неравенство lg(x - 2) - log(√10,(x - 2) > -1. ОДЗ: х > 2.
Вынесем корень основания как показатель степени перед логарифмом: log(10,(x - 2) - (1/(1/2))*log(10,(x - 2) > -1.
log(10,(x - 2) - 2*log(10,(x - 2) > -1.
-log(10,(x - 2) > -1. Поменяем знаки и заменим 1 на lg10.
lg(x - 2) < lg10, отсюда х < 12.
С учётом ОДЗ ответ: 2 < x < 12.
