Question

При каких значениях параметра a (-1 < a < ½) из трех отрезков с длинами 1 + a , 1 - 2a и 2 можно построить треугольник?

Answer 1

В треугольнике сумма длин двух любых сторон всегда больше третьей стороны

$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } 1+a+1-2a>2 \\ & \text{ } 1+a>0\\ & \text{ } 1-2a>0 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } -a>0 \\ & \text{ } a>-1 \\ & \text{ } a<0.5 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~ \begin{cases} & \text{ } a<0 \\ & \text{ } a>-1 \\ & \text{ } a<0.5 \end{cases}$

Получим общее $-1<a<0$

Случай 2.

$\begin{cases} & \text{ } 2+a+2>1-2a \\ & \text{ } 1-2a>0 \\ & \text{ } a<0.5 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~ \begin{cases} & \text{ } a<-2/3\\ & \text{ } a>-1 \\ & \text{ } a<1/2 \end{cases}~~~\Rightarrow~~ -2/3<a<1/2$

Случай 3.

$\begin{cases} & \text{ } 1-2a+2>1+a \\ & \text{ } a>-1\\ & \text{ } a<1/2 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } a<2/3 \\ & \text{ } a>-1 \\ & \text{ } a<1/2 \end{cases}~~~\Rightarrow~~ -1<a<1/2$

Пересечения всех решений системы неравенств: $-2/3<a<0$

Ответ: $a \in (-2/3;0).$

Answer 2

.........................