Question

Сумма квадрата полусуммы двух чисел и квадрата полуразности этих же чисел равна 212. Разность квадрата полусуммы этих же чисел и квадрата полуразности этих же чисел равна 180. Определите чему равно 1) среднее арифмитичекое этих чисел2) среднее геометрическое этих чисел 3) сумма чисел, обратным к этим числам​

Answer 1

$\begin{cases}\left(\frac{x+y}2\right)^2+\left(\frac{x-y}2\right)^2=212\\\left(\frac{x+y}2\right)^2-\left(\frac{x-y}2\right)^2=180\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{(x+y)^2}4+\frac{(x-y)^2}4=212\\\frac{(x+y)^2}4-\frac{(x-y)^2}4=180\end{cases}\Rightarrow\\\\\\\Rightarrow\begin{cases}(x+y)^2+(x-y)^2=848\\(x+y)^2}-(x-y)^2=720\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=848\\x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=720\end{cases}$

$\Rightarrow\begin{cases}2x^2+2y^2=848\\4xy=720\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+y^2=424\\xy=180\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+\left(\frac{180}x\right)^2=424\\y=\frac{180}x\end{cases}\\\\x^2+\left(\frac{180}x\right)^2=424\\\\x^2+\frac{32400}{x^2}=424\\\\x^4+32400=424x^2\\x^4-424x^2+32400=0\\x^2=t,\;x^4=t^2,\;t>0$

Здесь должно быть t ≥ 0, но т.к. при t = 0 x будет равен 0, а $y=\frac{180}x$, то t = 0 не подходит.

$t^2-424t+32400=0\\D=179776-4\cdot1\cdot32400=179776-129600=50176=(224)^2\\t_{1,2}=\frac{424\pm224}2\\t_1=100\\t_2=324\\x=100\Rightarrow x_1=-10,\;x_2=10\\x=324\Rightarrow x_3=-18,\;x_4=18\\\\\begin{cases}x_1=-10\\y_1=-18\end{cases}\quad\quad\begin{cases}x_2=10\\y_2=18\end{cases}\quad\quad\begin{cases}x_3=-18\\y_3=-10\end{cases}\quad\quad\begin{cases}x_4=18\\y_4=10\end{cases}$

Таким образом, имеем две пары чисел: -10 и -18; 10 и 18.

1) среднее арифметическое:

$\frac{-10-18}2=-\frac{28}2=-14\\\\\frac{10+18}2=\frac{28}2=14$

2) среднее геометрическое:

$\sqrt[2]{(-10)\cdot(-18)}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt5\\\\\sqrt[2]{10\cdot18}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt5$

3) обратные:

для -10 и -18: $\frac1{-10}=-\frac1{10};\;\frac1{-18}=-\frac1{18}$

для 10 и 18: $\frac1{10};\;\frac1{18}$