Самый кондовый способ
![ \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}} = \int\limits { \frac{dx}{\sqrt{(e^{x}+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} } = \\\\ e^x+\frac{1}{2}=u\\ e^xdx=du\\\\ \int\limits{\frac{du}{(u-\frac{1}{2})\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}}\\\\ u=\frac{\sqrt{3}}{2}tga\\\\ du=\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}}{(\frac{\sqrt{3}tga}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{\frac{3}{4}(tg^2a+1)}}}\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Be%5E%7B2x%7D%2Be%5Ex%2B1%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%28e%5E%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7D%20%7D%20%3D%20%5C%5C%5C%5C%20e%5Ex%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3Du%5C%5C%20e%5Exdx%3Ddu%5C%5C%5C%5C%20%5Cint%5Climits%7B%5Cfrac%7Bdu%7D%7B%28u-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5Csqrt%7Bu%5E2%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20u%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Dtga%5C%5C%5C%5C%20du%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dda%7D%7B2cos%5E2a%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dda%7D%7B2cos%5E2a%7D%7D%7B%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dtga%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%28tg%5E2a%2B1%29%7D%7D%7D%5C%5C%0A)
Подставляя получаем
воспользуемся универсальной тригонометрической заменой
![sina=\frac{2t}{1+t^2}\\ cosa=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ da=\frac{2dt}{1+t^2}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{4dt}{1+t^2}}{\sqrt{3}*\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}} =\\\\ \int\limits {\frac{4dt}{t^2+2\sqrt{3}t-1} }=\\\\ \int\limits{\frac{4dt}{(t+\sqrt{3})^2-4}} = |t+\sqrt{3}=z ; \ \ \ dt=dz\\\\ \int\limits{\frac{4dz}{z^2-4}}=ln(2-z)-ln(2+z)+C=\\\\ ln(2-t-\sqrt{3})-ln(2+t+\sqrt{3})+C=\\\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=sina%3D%5Cfrac%7B2t%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%5C%5C%0Acosa%3D%5Cfrac%7B1-t%5E2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%5C%5C%0Ada%3D%5Cfrac%7B2dt%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%5C%5C%5C%5C%0A%20%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B4dt%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%2A%5Cfrac%7B2t%7D%7B1%2Bt%5E2%7D-%5Cfrac%7B1-t%5E2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%7D%7D%20%3D%5C%5C%5C%5C%0A%20%5Cint%5Climits%20%7B%5Cfrac%7B4dt%7D%7Bt%5E2%2B2%5Csqrt%7B3%7Dt-1%7D%20%7D%3D%5C%5C%5C%5C%0A%20%5Cint%5Climits%7B%5Cfrac%7B4dt%7D%7B%28t%2B%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2-4%7D%7D%20%3D%20%7Ct%2B%5Csqrt%7B3%7D%3Dz%20%3B%20%5C%20%5C%20%5C%20%20dt%3Ddz%5C%5C%5C%5C%0A%20%5Cint%5Climits%7B%5Cfrac%7B4dz%7D%7Bz%5E2-4%7D%7D%3Dln%282-z%29-ln%282%2Bz%29%2BC%3D%5C%5C%5C%5C%0Aln%282-t-%5Csqrt%7B3%7D%29-ln%282%2Bt%2B%5Csqrt%7B3%7D%29%2BC%3D%5C%5C%5C%5C%0A)
Заменяя на
![t](https://tex.z-dn.net/?f=t)
и
![u](https://tex.z-dn.net/?f=u)
получаем
Ответ
3 задание, 4 могу сделать, если надо
52 000 000 =
![5,2*10^7](https://tex.z-dn.net/?f=5%2C2%2A10%5E7)
.................................................
1. Сократить дробь, раскрыть модуль и привести подобные члены
2. Записать в виде дроби: 26х-51/52 - 2-6х/13 = х - (23х-10) / 156
3. Умножить обе части равенства на 156
4. Получаем: 3(26х-51)-12(2-6х)=156х-(23х-10)
5. Привести подобные члены и вычеслить: 150х-177=133х+10
6. Перенести слагаемое в другую часть уравнения: 150х-133х=10+177
7. Вычесляем и получаем: 17х=187
8. 187 делим на 17 и получаем ответ: х=11
(5*2^32-4*2^30)/4^16=4
1) 5*2^32=21 474 836 480
2) 4*2^30=4 294 907 290
3) 21 474 836 480 - 47 294 907 290=17 179 869 184
4) 4^16= 4 294 907 290
5) 17 179 869 184/ 4 294 907 290=4.