Дано
L₁=20 см =0,2 м длина деревянного цилиндра;
L₂=2,9 см=0,029 см длина выступающей над водой части деревянного цилиндра;
ρ₁=800 кг/м³ плотность дерева
ρ₂=2700 кг/м³ плотность алюминия
ρ=1000 кг/м³ плотность воды
Сообразим рисунок (рисунок 1).
Итак чтобы составной цилиндр при плавал, необходимо, чтобы сила тяжести Mg уравновешивалась силой Архимеда
![F_A](https://tex.z-dn.net/?f=F_A)
. Обозначим площадь поперечного сечения S. Тогда в положении требуемого равновесия сила Архимеда.
![F_A=\rho gV_3=\rho gS(L_1-L_2+x)](https://tex.z-dn.net/?f=F_A%3D%5Crho+gV_3%3D%5Crho+gS%28L_1-L_2%2Bx%29)
(1)
где V₃ - Объем погруженной части составного цилиндра.
Сила тяжести
![F_t=Mg=(\rho_1V_1+\rho_2V_2)g=(\rho_1SL_1+\rho_2Sx))g=(\rho_1L_1+\rho_2x))Sg](https://tex.z-dn.net/?f=F_t%3DMg%3D%28%5Crho_1V_1%2B%5Crho_2V_2%29g%3D%28%5Crho_1SL_1%2B%5Crho_2Sx%29%29g%3D%28%5Crho_1L_1%2B%5Crho_2x%29%29Sg)
(2)
Приравниваем правые части (1) и (2) и разрешаем полученное уравнение относительно x.
![\rho gS(L_1-L_2+x)=gS(\rho_1L_1+\rho_2x) \newline \newline \rho (L_1-L_2+x)=\rho_1L_1+\rho_2x \newline \newline \rho( L_1-L_2)+\rho x=\rho_1L_1+\rho_2x \newline \newline \rho_2x-\rho x =\rho( L_1-L_2)-\rho_1L_1 \newline \newline x(\rho_2-\rho) =\rho( L_1-L_2)-\rho_1L_1 ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crho+gS%28L_1-L_2%2Bx%29%3DgS%28%5Crho_1L_1%2B%5Crho_2x%29+%5Cnewline+%5Cnewline%0A%5Crho+%28L_1-L_2%2Bx%29%3D%5Crho_1L_1%2B%5Crho_2x+%5Cnewline+%5Cnewline%0A%5Crho%28+L_1-L_2%29%2B%5Crho+x%3D%5Crho_1L_1%2B%5Crho_2x+%5Cnewline+%5Cnewline%0A%5Crho_2x-%5Crho+x+%3D%5Crho%28+L_1-L_2%29-%5Crho_1L_1++%5Cnewline+%5Cnewline%0Ax%28%5Crho_2-%5Crho%29+%3D%5Crho%28+L_1-L_2%29-%5Crho_1L_1%0A)
<em>(3)</em>Подставляем числа в (3)
![x =(\rho( L_1-L_2)-\rho_1L_1)/(\rho_2-\rho)=\newline = (1000(0,2-0,029)-800 \cdot 0,2)/(2700-1000)= \newline =(1000\cdot 0,171-160)/1700=(171-160)/1700=11/1700\approx0,00647](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D%28%5Crho%28+L_1-L_2%29-%5Crho_1L_1%29%2F%28%5Crho_2-%5Crho%29%3D%5Cnewline%0A%3D+%281000%280%2C2-0%2C029%29-800+%5Ccdot+0%2C2%29%2F%282700-1000%29%3D+%5Cnewline%0A%3D%281000%5Ccdot+0%2C171-160%29%2F1700%3D%28171-160%29%2F1700%3D11%2F1700%5Capprox0%2C00647)
м.
Т.е. приблизительно 6,5 мм
<em> P.S.</em>Еще один момент. Для устойчивого вертикального плавания должно выполняться условие: центр плавучести (центр масс вытесненного объема воды должен быть выше, чем центр масс составного цилиндра) .
Проверяем. У нас центр плавучести находится на уровне
(L₁-L₂+x)/2=(0,171+0,0647)/2≈0,0887м от уровня воды. И на таком же расстоянии от нижнего торца
h≈0,0887м=8,87 см.
Положение центра масс составного цилиндра по быстрому определим так:
Рассмотрим составной цилиндр в горизонтальном положении (рисунок 2)."Стянем" в точки своих центров масс z₁, z₂ деревянную и алюминиевую части, а затем найдем точку z₀ относительно которой моменты сил F1=m₁g и F2=m₂g , будут равны.
Положение центра масс Z₁=x+L₁/2, соответственно Z₂=x/2
Тогда моменты относительно точки Z₀
![M_1=m_1g(z_1-z_0)=\rho_1SL_1g(z_1-z_0) =\rho_1SL_1g(x+L_1/2-z_0) \newline M_2=m_2g(z_0-z_2)=\rho_2Sxg(z_0-z_2)=\rho_2Sxg(z_0-x/2) \newline \newline M_1=M_2 \newline \rho_1SL_1g(x+L_1/2-z_0) =\rho_2Sxg(z_0-x/2) \newline \rho_1L_1(x+L_1/2-z_0) =\rho_2x(z_0-x/2) \newline \rho_1L_1(x+L_1/2)-\rho_1L_1z_0 =\rho_2xz_0-\rho_2x^2/2 \newline \newline \rho_1L_1(x+L_1/2)+\rho_2x^2/2=\rho_2xz_0+\rho_1L_1z_0=z_0(\rho_2x+\rho_1L_1) \newline](https://tex.z-dn.net/?f=M_1%3Dm_1g%28z_1-z_0%29%3D%5Crho_1SL_1g%28z_1-z_0%29+%3D%5Crho_1SL_1g%28x%2BL_1%2F2-z_0%29+%5Cnewline%0AM_2%3Dm_2g%28z_0-z_2%29%3D%5Crho_2Sxg%28z_0-z_2%29%3D%5Crho_2Sxg%28z_0-x%2F2%29+%5Cnewline+%5Cnewline%0AM_1%3DM_2++%5Cnewline%0A%5Crho_1SL_1g%28x%2BL_1%2F2-z_0%29+%3D%5Crho_2Sxg%28z_0-x%2F2%29+%5Cnewline%0A%5Crho_1L_1%28x%2BL_1%2F2-z_0%29+%3D%5Crho_2x%28z_0-x%2F2%29+%5Cnewline%0A%5Crho_1L_1%28x%2BL_1%2F2%29-%5Crho_1L_1z_0+%3D%5Crho_2xz_0-%5Crho_2x%5E2%2F2+%5Cnewline+%5Cnewline%0A%5Crho_1L_1%28x%2BL_1%2F2%29%2B%5Crho_2x%5E2%2F2%3D%5Crho_2xz_0%2B%5Crho_1L_1z_0%3Dz_0%28%5Crho_2x%2B%5Crho_1L_1%29+%5Cnewline)
![z_0= \frac{\rho_1L_1(x+L_1/2)+\rho_2x^2/2}{(\rho_2x+\rho_1L_1)}](https://tex.z-dn.net/?f=z_0%3D+%5Cfrac%7B%5Crho_1L_1%28x%2BL_1%2F2%29%2B%5Crho_2x%5E2%2F2%7D%7B%28%5Crho_2x%2B%5Crho_1L_1%29%7D+)
![z_0= \frac{\rho_1L_1(x+L_1/2)+\rho_2x^2/2}{(\rho_2x+\rho_1L_1)}= \frac{800\cdot 0,2(0,00647+0,1)+2700(11/1700)^2/2}{(2700\cdot11/1700+800\cdot0,2)}=\newline = \frac{160(0,10647)+1350(121/1700 \cdot 1700)}{(27\cdot11/17+160)}\approx0,0963](https://tex.z-dn.net/?f=z_0%3D+%5Cfrac%7B%5Crho_1L_1%28x%2BL_1%2F2%29%2B%5Crho_2x%5E2%2F2%7D%7B%28%5Crho_2x%2B%5Crho_1L_1%29%7D%3D+%5Cfrac%7B800%5Ccdot+0%2C2%280%2C00647%2B0%2C1%29%2B2700%2811%2F1700%29%5E2%2F2%7D%7B%282700%5Ccdot11%2F1700%2B800%5Ccdot0%2C2%29%7D%3D%5Cnewline%0A%3D+%5Cfrac%7B160%280%2C10647%29%2B1350%28121%2F1700+%5Ccdot+1700%29%7D%7B%2827%5Ccdot11%2F17%2B160%29%7D%5Capprox0%2C0963)
z₀≈0,0963м=9,63 см
от нижнего торца. Таким образом центр масс составного цилиндра оказался выше чем центр плавучести (z₀>h), а значит вертикальное положение будет неустойчивым. И, пожалуй, при заданной высоте выступающей части строго вертикального плавания не получится