Question

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда.


Помогите пожалуйста и обьясните чтоб я понял!

Answer 1

Наименьшим основанием системы счисления будет являться число 4.
Достаточно трудно мне объяснить, но нам нужно иметь 3 значащих разряда т.е. 3 цифры в числе. Значит при переводе числа в эту систему счисления мы должны получить 3 остатка.

Answer 2

Трехзначное число в системе счисления по основанию n записывается как
$N=a_2\times n^2+a_1\times n^1+a_0\times n^0=a_2\times n^2+a_1\times n+a_0$
Минимальное трехзначное число можно записать как
$N_{min}=1\times n^2+0\times n+0=n^2$
Максимальное трехзначное число можно записать как
$N_{max}=(n-1)\times n^2+(n-1)\times n+(n-1)= \\ n^3-n^2+n^2-n+n-1=n^3-1$
Здесь (n-1) - старшая цифра в системе счисления по основанию n.
По условию:
$N_{min} \leq 30 \leq N_{max} \to n^2 \leq 30 \leq n^3-1$
Поскольку n - целое, последнее неравенство можно переписать в двух вариантах:
$4^2 \leq 30 \leq 4^3-1; \\ 5^2 \leq 30 \leq 5^3-1$
Согласно условию требуется найти минимальное основание системы счисления, поэтому решением будет n=4.
$30_{10}=132_4$