Возведём в квадрат выражение для медианы
, проведённой к стороне
предварительно умножив его на
, и получим:
;
Используя теорему косинусов для исключения значения
из искомого выражения, получим:
;
;
;
;
Итак, мы получили параметрическое приведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен единице) с чётным центральным линейным коэффициентом
где
и свободным слагаемым
;
Его решения выражаются, как:
где
где чётно-приведённый дискриминант
выражается, как:
и:
;
В итоге:
;
На первый взгляд, может обманчиво (!) показаться, что при использовании перед корнем из дискриминанта знака «минус», решение в целом будет отрицательным, а стало быть, нужно брать только одно решение со знаком «плюс» перед корнем из дискриминанта. НО ЭТО НЕ ТАК! Если угол
– тупой, то
и слагаемое
, так что если это слагаемое по модулю будет больше корня из дискриминанта, то оба решения будут положительными и значит при заданных медиане
стороне
и значения угла
– будут возможны два варианта стороны
и соответственно два несколько различных треугольника!
Чтобы понять, когда второй корень будет тоже положительным, потребуем:
;
;
при
;
;
;
;
поскольку:
и
то:
;
;
– именно при таком условии, в случае, когда угол
– тупой, имеется два различных решения для
и два различных треугольника.
О т в е т :
Если угол
– тупой, и медиана
то существует два различных треугольника со сторонами:
;
Иначе, если угол
– острый или прямой, или если медиана
то решение единственно: