(a n) - арифметическая прогрессия (Пояснение: а с индексом n)
Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии что
![a\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=a%5C%20%5Ctextless%20%5C%200)
![(x^2+ax)^2=9a^2\\ \\ (x^2+ax)^2-9a^2=0\\ \\ (x^2+ax+3a)(x^2+ax-3a)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2%2Bax%29%5E2%3D9a%5E2%5C%5C%20%5C%5C%20%28x%5E2%2Bax%29%5E2-9a%5E2%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%28x%5E2%2Bax%2B3a%29%28x%5E2%2Bax-3a%29%3D0)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
![\left[\begin{array}{ccc}x^2+ax+3a=0\\ x^2+ax-3a=0\end{array}\right](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx%5E2%2Bax%2B3a%3D0%5C%5C%20x%5E2%2Bax-3a%3D0%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
Нам нужно найти такие значения параметра а, при которых один из двух уравнений примет 2 корня, т.е. должно выполнятся следующие неравенства
![\left[\begin{array}{ccc}\begin{cases} & \text{ } a^2-12a\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } a^2+12a\ \textless \ 0 \end{cases}\\ \begin{cases} & \text{ } a^2-12a\ \textless \ 0 \\ & \text{ } a^2+12a\ \textgreater \ 0 \end{cases}\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~~ \left[\begin{array}{ccc}-12 \ \textless \ a \ \textless \ 0\\ \\ \\ 0 \ \textless \ a \ \textless \ 12\end{array}\right](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%26%20%5Ctext%7B%20%20%7D%20a%5E2-12a%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%20%5C%5C%20%0A%20%26%20%5Ctext%7B%20%20%7D%20a%5E2%2B12a%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%26%20%5Ctext%7B%20%20%7D%20a%5E2-12a%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%5C%5C%20%0A%20%26%20%5Ctext%7B%20%20%7D%20a%5E2%2B12a%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%20%0A%5Cend%7Bcases%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright~~~%5CRightarrow~~~~%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-12%20%5C%20%5Ctextless%20%5C%20a%20%5C%20%5Ctextless%20%5C%20%200%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%200%20%5C%20%5Ctextless%20%5C%20%20a%20%5C%20%5Ctextless%20%5C%2012%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
С учетом условии a<0 получим окончательный ответ
![a \in (-12;0).](https://tex.z-dn.net/?f=a%20%5Cin%20%28-12%3B0%29.)
A+b=7
a=7-b
1/2*ab=6
ab=12
(7-b)b=12
![7b - {b}^{2} - 12 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=7b+-+%7Bb%7D%5E%7B2%7D+-+12+%3D+0)
D=49-48=1
![b = \frac{ - 7 + 1}{ - 2} = 3](https://tex.z-dn.net/?f=b+%3D+%5Cfrac%7B+-+7+%2B+1%7D%7B+-+2%7D+%3D+3)
![b = \frac{ - 7 - 1}{ - 2} = 4](https://tex.z-dn.net/?f=b+%3D+%5Cfrac%7B+-+7+-+1%7D%7B+-+2%7D+%3D+4)
a+3=7. a=4
a+4=7. a=3
Ответ. катеты равны 4 и 3
Если что-то непонятно, пишите