Достаточно ТРЁХ делений, причём их можно нанести двумя существенно различными (с точностью до отражений) способами: метки 1, 2 и 6; метки 1, 4 и 7. Легко проверить, что все расстояния от 1 до 9 см можно отмерить, например, в первом способе: 1 см - от левого края до метки 1, 2 см - от левого края до метки 2, 3 см - от метки 6 до правого края, 4 см - между метками 2 и 6, 5 см - между метками 1 и 6, 6 см - от левого края до метки 6, 7 см - между меткой 2 и правым краем, 8 см - между меткой 1 и правым краем, 9 см - между левым и правым краями.
Нужно ещё доказать, что двух делений недостаточно, это делается так: два деления вместе с двумя краями (всего четыре точки) позволяют построить 6 отрезков (число сочетаний из 4 по 2), чего не хватит для измерения девяти различных расстояний (от 1 до 9 см), а вот трех делений уже хватает (пять точек, всего 10 отрезков, число сочетаний из 5 по 2), причем можно даже иметь одну пару одинаковых отрезков на линейке. Далее последовательно ставим на линейке метки так, чтобы получать все отрезки, начиная с самого большого (9 см), соблюдая ограничение по наличию всего одной пары одинаковых отрезков между краями/метками, так легко найдем оба минимальных решения и докажем их единственность.