Question

Петя задумал натуральное число, и высказал три утверждения:
а) Если к нему прибавить 51, то получится точный квадрат;
б) Последняя цифра числа - есть единица;
в) Если от числа отнять 38, то тоже получится точный квадрат
Известно, что из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно. Какое число задумал Петя?

Answer 1

Для числа Х:
а) Х + 51 = а²
б) Х = 10n + 1, где n - натуральное число
в) Х - 38 = в²
г) одно из утверждений неверно.
Решение. 
1) Н а й д е м   н е в е р н о е   у т в е р ж д е н и е.
     Наиболее просто проверяется б). 
√(10n+1+51) = √(10m +2); (m=n+5 , число десятков в подкоренном выражении увеличивается). Но нет натурального числа, которое оканчивается на 2 и в то же время является квадратом натурального числа. Противоречие с а)
√(10n+1- 38) = √(10m+3);   (m = n-4).  Натурального числа, квадрат которого оканчивается на 3 нет. Противоречие с в)
Значит, утверждение б) неверно. Тогда а) и в) - верны
2) И м е е м   с и с т е м у   у р а в н е н и й, р е ш и м  е е:
1.   {Х + 51 = а²
2. - {Х - 38 = в²     вычтем из первого второе.
        89 = а² - в²    разложим разность квадратов и 89 на множители
(а-в)(а+в) = 1 * 89
Для натуральных а и в получаем:
{а - в = 1
{а + в = 89, решим данную систему сложением и вычитанием
2а = 90; а = 45
2в = 88, в = 44
3) В е р н е м с я   к   д а н н о м у   в   у с л о в и и   у р а в н е н и ю   д л я   Х ,   п о д с т а в и в   в   н е г о   з н а ч е н и е  а² = 45² = 2025
Х + 51 = 2025
Х = 2025 - 51 = 1974
4) п р о в е р и м   н а й д е н н о е   ч и с л о ,   п о д с т а в и в   в о   в т о р о е   у р а в н е н и е   е г о   и   в ² = 44² = 1936
1974 - 38 = 1936
1936 =1936
Ответ:Х = 1974