Question

Бассейн наполняют 3 трубы. Первая и вторая трубы, работая одновременно, могут наполнить этот бассейн за 10,8 ч, вторая и третья – за 4 и 5/7 часа. За сколько часов каждая из труб, действуя отдельно, может наполнить бассейн, если известно, что первая труба наполняет его на 13.5 ч скорее третьей?

Answer 1

Ответ: Первая труба наполнит бассейн за 19.34 часа, вторая за 24.45 часа и третья за 5.84 часа

Пошаговое объяснение:

Введем понятие производительности трубы - какую часть от всего бассейна она наполнит за 1 час. Тогда у первой трубы производительность p1, у второй p2 и у третьей p3.

Получим три уравнения вытекающие из условий задачи:

$\frac{1}{p_1+p_2}=10\frac{4}{5}\\\frac{1}{p_2+p_3}=4\frac{5}{7}\\\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_3}=13\frac{1}{2}$

В первых двух решим пропорцию, а в третьем приведем к общему знаменателю:

$p_1+p_2=\frac{5}{54}\\p_2+p_3=\frac{7}{33}\\\frac{p_3-p_1}{p_1*p_3}=13\frac{1}{2}$

Из второго уравнения вычтем первое, а в третьем выразим произведение производительностей первой и третьей трубы:

$p_3-p_1=\frac{7}{33}-\frac{5}{54}=\frac{7*18-5*11}{11*54}=\frac{71}{594}\\p_1*p_3=\frac{2}{27}(p_3-p_1)=\frac{2}{27}*\frac{71}{594}=\frac{142}{27*594}$

В первом выразим производительность третьей через первую и подставим во второе уравнение:

$p_3=p_1+\frac{71}{594}\\p_1*p_3=\frac{142}{27*594}\\p_1*(p_1+\frac{71}{594})-\frac{142}{27*594}=0\\p^2_1+\frac{71}{594}*p_1-\frac{142}{27*594}=0$

Решим последнее квадратное уравнение:

$p^2_1+\frac{71}{594}*p_1-\frac{142}{27*594}=0\\D=(\frac{71}{594})^2+\frac{4*142}{27*594}=\frac{71}{594}(\frac{71}{594}+\frac{8}{27})=\frac{71}{594}*\frac{71+8*22}{594}=\frac{71*247}{594^2}\\\sqrt{D}=\frac{\sqrt{71*247}}{594}\\p_1=\frac{-\frac{71}{594}+\frac{\sqrt{71*247}}{594}}{2}=\frac{\sqrt{71*247}-71}{1188}$

При решении взяли дискриминант положительный, т.к. производительность не может быть отрицательной. Дальнейшее решение возможно только в приближенных числах:

$p_1=\frac{\sqrt{71*247}-71}{1188}\approx0.0517$

$p_1+p_2=\frac{5}{54}\\p_2=\frac{5}{54}-p_1\approx0.0409\\p_2+p_3=\frac{7}{33}\\p_3=\frac{7}{33}-p_2\approx0.1712$

По найденным производительностям найдем сколько времени понадобится каждой трубе для заполнения бассейна:

$t_1=\frac{1}{p_1}=\frac{1}{0.0517}=19.34\\t_2=\frac{1}{p_2}=\frac{1}{0.0409}=24.45\\t_3=\frac{1}{p_3}=\frac{1}{0.1712}=5.84$