Question

Стационарный искусственный спутник Земли движется в плоскости экватора по круговой орбите так, что все время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Определите орбитальную скорость спутника и высоту его орбиты над поверхностью Земли. Радиус Земли 6370 км.

Необходимо максимально подробное решение с сопроводительным рисунком.

Answer 1

Хорошо понятое условие задачи, на половину решённая задача! 

Начнём со слов: Стационарный искусственный спутник Земли, в плоскости экватора - думаю ясно что, спутник неподвижен относительно Земли и находится в точке над экватором.
Далее: Движется по круговой орбите так, что все время находится над одной и той же точкой земной поверхности - это означает что, линейная скорость вращения спутника по орбите, должна равна линейной скорости вращения Земли вокруг своей оси.
Определите орбитальную скорость спутника и высоту его орбиты над поверхностью Земли? Дальше математика:

Дано: 
$T=24 \ \iota| =86400 \ c\\ R_\Im=6370 \ _K_M=6370000 \ _M$
Найти:
$\vartheta_c= \ ? \ \ \ h= \ ?$
Решение:
Запишем закон всемирного тяготения: относительно двух тел:
Спутник - Земля
$F=G\cdot \frac{m_c\cdot M}{R^2_c}$
$F=m\cdot a$
$m_c\cdot a=G\cdot \frac{m_c\cdot M}{R^2_c}$
$a= \frac{\vartheta^2}{R_c}$
$\frac{\vartheta^2}{R_c}=G\cdot \frac{M}{R^2_c} \ \ \ \rightarrow \ \ \ \vartheta^2= \frac{G\cdot M}{R^2_c}$
$\vartheta= \frac{2\cdot \pi \cdot R_c}{T}$
$(\frac{2\cdot \pi \cdot R_c}{T})^2=\frac{G\cdot M}{R^2_c} \ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{4\cdot \pi^2 \cdot R_c}{T^2}=\frac{G\cdot M}{R^2_c} \ \ \ \rightarrow \ \ \ 4\cdot \pi^2 \cdot R^3_c=T^2\cdot G\cdot M$
$R_c= \sqrt[3]{\frac{T^2\cdot G\cdot M}{4\cdot \pi^2} } = \sqrt[3]{\frac{86400^2\cdot 6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot 10^{24}}{4\cdot 3,14^2}} = 42241187,7 \ (_M)$
Это всё определяли радиус орбиты по которой движется спутник. Сейчас определяем его скорость:
$\vartheta= \frac{2\cdot \pi \cdot R_c}{T}= \frac{2\cdot3,14\cdot42241187,7}{86400} =3070,3 \ ( \frac{_M}{c} )$
Высота на которой находится спутник от Земли:
$h=R-R_\Im=42241187,7-6370000=35871187,7 \ (_M)$