Question

Имеется 32 монеты. Как найти фальшивую и настоящую монету? Возможно?

Имеется 32 монеты, половина из которых настоящие (имеющие одинаковую массу) и половина фальшивые (тоже имеющие одинаковую массу, но меньшую, чем у настоящих). Можно ли, выполнив не более пяти взвешиваний на чашечных весах без гирь, предъявить одну настоящую монету и одну фальшивую монету?

Answer 1

Имеем монеты двух типов, отличающихся весом. Применим алгоритм взвешивания с последовательным увеличением числа монет в геометрической прогрессии при равновесиях, что позволяет решить поставленную задачу с любым количеством оных.

• Первое взвешивание. Сравниваем две монеты. В случае неравенства, решение становится очевидным. Одна монета настоящая, вторая фальшивая. В противном случае на весах две однотипные монеты.
• Второе взвешивание. Следует положить их на одну чашу, а на другую - из общей кучи две новых монеты. В случае неравного положения чаш, среди этих двух новых монет одна настоящая, другая фальшивая или же две другого типа. Тогда третьим взвешиванием этих монет (по одной на каждую чашу) решается поставленная задача. При равновесии получаем две монеты другого типа, в противном случае на весах одна настоящая, а другая фальшивая.

Если в двух вариантах первого и второго взвешиваний равновесие, имеем четыре однотипные монеты.

• Третье взвешивание. Эти 4 однотипные монеты положим на одну чашу весов, а на другую из общей кучи 4 новых. В случае неравенства веса, среди новых монет может быть от одной до четырех однотипных, несоответствующих первой группе. Чтобы уложиться в 5 взвешиваний, поступим следующим образом.
• Четвертое взвешивание. Две однотипных монеты сравниваем с двумя новыми (из партии третьего взвешивания). Если равновесия нет, то одна или две из новых монет другого типа.
• Пятое взвешивание. Сравниваем их между собой. Если равновесие, то они обе другого типа, в противном случае имеем две монеты разных типов.

Если в эпизоде четвертого взвешивания наблюдаем равенство двух однотипных монет двум новым, то среди двух оставшихся новых (из партии третьего взвешивания) одна или две другого типа. Пятым взвешиванием аналогично определяем монету другого типа.

Предположим, что в трех вариантах первого, второго и третьего взвешиваний равновесие, тогда имеем восемь однотипных монет. Пусть в задаче шла речь о 16 монетах, поровну двух типов. Тогда из 8 оставшихся монет все другого типа. Теперь берем по одной монете от каждой группы и четвертым взвешиванием устанавливаем их принадлежность к тому или иному типу.

Следовательно, пятью взвешиваниями можно решить задачу с 16 монетами, но ни как с 32.

Answer 2

Берем 17 монет наугад.Взвешаем из них восемь и восемь.Если весы ровно,то одна оставшаяся монета может определиться как фальшивая или настоящей при замене ею другой монеты (легче или тяжелей стала чаша )-два взвешивания.Если весы не равны изначально,то в легкой чаше больше фальшивых или все фальшивые - поделим их на весы по 4 штуки и если равны ,то делим по две на весы (третье взвешивание) и если ровно то по одной ( 4 действие) и если ровно ,пятое взвешивание даст ответ.

Если при начальных действиях весы будут не ровно,то берем легкую чашу и делим на две кучи веса с тем же логорифмом действия.

В итоге до пяти взвешиваний.

Answer 3

Первое взвешивание :

16 и 16.

Если поровну (хотя маловероятно), то из любых 16 будут 8 настоящих монет и 8 легких монет.

В противном случае берём (для определенности) те 16 которые перевешивают.

В общем всегда можно найти алгоритм. Какое-то начало я изложил на бумаге. Печатать очень долго, даже на бумаге будет целая тетрадь, наверное. В некоторых случаях может быть даже всего 4 взвешивания .Пяти взвешиваний должно хватить.