Question

Вычислить несобств интегралы и уст их расходимость

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^1_0\, \frac{dx}{x^2+x^4}=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\int\limits^1_{\varepsilon }\, \frac{dx}{x^2(x^2+1)}\, dx=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\, \int\limits^1_{\varepsilon }\, \Big (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\Big )\, dx=\\\\=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\Big (-\frac{1}{x}-arctgx\Big )\Big |_{\varepsilon }^1=(-1-\frac{\pi}{4})-(-\frac{1}{\varepsilon }-arctg\varepsilon )=\\\\=-1-\frac{\pi}{4}+\infty +0=\infty \quad \Rightarrow \quad rasxoditsya$

$2)\; \; \int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, \frac{dx}{x^2+2x+5}=\int\limits^0_{-\infty }\, \frac{dx}{(x+1)^2+4}+\int\limits^{+\infty }_0\, \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\\\\=\lim\limits _{A \to -\infty}\int\limits^0_{A}\, \frac{dx}{(x+1)^2+4}+\lim\limits _{B \to +\infty}\int\limits^{B}_0\, \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\\\\=\lim\limits _{A \to -\infty}\Big (\frac{1}{2}arctg\frac{x+1}{2}\Big )\Big |_{A}^0+\lim\limits _{B \to +\infty}\Big (\frac{1}{2}arctg\frac{x+1}{2}\Big )\Big |_0^{B}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \Big (arctg\frac{1}{2}-arctg\frac{A+1}{2}\Big )+\frac{1}{2}\cdot \Big (arctg\frac{B+1}{2}-arctg\frac{1}{2}\Big )=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \; \; \; sxoditsya$