Пусть цифра сотен этого числа х (х>0), десятков - у, единиц - z. Естественно, что x, y, z могут быть только целыми.
а) Если выполняется условие а), то это запишется в виде:
100x+10y+z=20(x+y+z), 80x-10y=19z, 10*(8x-y)=19*z. 19*z может быть кратно 10 только если z=0.
Тогда (8x-y)=0, y=8x. Это возможно только при y=8 и x=1. Итак, условию а) удовлетворяет число 180.
б) Если выполняется условие б), то это запишется в виде:
100x+10y+z=81(x+y+z), 19x-71y=80z.
Пробуем подобрать значения z. Оно не может быть равно нулю, так как в противном случае 19x=71y, а при целых, меньших 10 значениях x и y это невозможно. Значит z>0. Перепишем теперь в виде: 19x=80z+71y. Очевидно, что у не может быть равно 0. Поскольку левая часть (19х) не превышает 171, ни y, ни z не может быть больше 1. Но и прри их равенстве 1, равенство не соблюдается. Отсюда следует, что условие б) не выполняется НИ ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ.
в) Сумма цифр трёхзначного числа может равняться любому числу в промежутке 1-27. Попробуем подбирать знаменатель (сумму цифр числа) с наибольших значений.
х+у+z=27, т.е. х=9, у=9, z=9. Тогда число 999 и частное 999/27=37.
х+у+z=26, т.е. одна из цифр равна 8, а две другие 9. Поскольку нечётное число на четное нацело не разделится, остаётся проверить 998/26=38,38461538. Решение не целое. Проверяем следующее, и так далее. На удивление, оказалось, что для условия в) имеется 180 целочисленных решений. Привожу их в порядке возрастания частного.
№ ....Число.Сумма цифр.Частное
1 198 18 11
2 108 9 12
3 195 15 13
4 156 12 13
5 117 9 13
6 126 9 14
7 135 9 15
8 288 18 16
9 192 12 16
10 144 9 16
11 153 9 17
12 162 9 18
13 399 21 19
14 285 15 19
15 266 14 19
16 247 13 19
17 228 12 19
18 209 11 19
19 190 10 19
20 171 9 19
21 152 8 19
22 133 7 19
23 114 6 19
24 180 9 20
25 378 18 21
26 396 18 22
27 264 12 22
28 132 6 22
29 207 9 23
30 216 9 24
31 375 15 25
32 225 9 25
33 150 6 25
34 468 18 26
35 234 9 26
36 486 18 27
37 243 9 27
38 588 21 28
39 476 17 28
40 448 16 28
41 392 14 28
42 364 13 28
43 336 12 28
44 308 11 28
45 280 10 28
46 252 9 28
47 224 8 28
48 140 5 28
49 112 4 28
50 261 9 29
51 270 9 30
52 558 18 31
53 465 15 31
54 372 12 31
55 576 18 32
56 594 18 33
57 408 12 34
58 306 9 34
59 204 6 34
60 102 3 34
61 315 9 35
62 648 18 36
63 324 9 36
64 999 27 37
65 888 24 37
66 777 21 37
67 666 18 37
68 629 17 37
69 592 16 37
70 555 15 37
71 518 14 37
72 481 13 37
73 444 12 37
74 407 11 37
75 370 10 37
76 333 9 37
77 222 6 37
78 111 3 37
79 684 18 38
80 342 9 38
81 351 9 39
82 480 12 40
83 360 9 40
84 240 6 40
85 120 3 40
86 738 18 41
87 756 18 42
88 774 18 43
89 645 15 43
90 516 12 43
91 792 18 44
92 405 9 45
93 966 21 46
94 874 19 46
95 828 18 46
96 782 17 46
97 736 16 46
98 690 15 46
99 644 14 46
100 552 12 46
101 506 11 46
102 460 10 46
103 414 9 46
104 322 7 46
105 230 5 46
106 846 18 47
107 423 9 47
108 864 18 48
109 432 9 48
110 882 18 49
111 735 15 49
112 441 9 49
113 450 9 50
114 918 18 51
115 936 18 52
116 780 15 52
117 624 12 52
118 312 6 52
119 954 18 53
120 972 18 54
121 990 18 55
122 935 17 55
123 880 16 55
124 825 15 55
125 770 14 55
126 715 13 55
127 660 12 55
128 605 11 55
129 550 10 55
130 440 8 55
131 330 6 55
132 220 4 55
133 110 2 55
134 504 9 56
135 513 9 57
136 870 15 58
137 522 9 58
138 531 9 59
139 540 9 60
140 915 15 61
141 732 12 61
142 960 15 64
143 832 13 64
144 704 11 64
145 640 10 64
146 512 8 64
147 320 5 64
148 804 12 67
149 603 9 67
150 402 6 67
151 201 3 67
152 612 9 68
153 621 9 69
154 840 12 70
155 630 9 70
156 420 6 70
157 210 3 70
158 803 11 73
159 730 10 73
160 511 7 73
161 912 12 76
162 702 9 78
163 711 9 79
164 720 9 80
165 902 11 82
166 820 10 82
167 410 5 82
168 510 6 85
169 801 9 89
170 810 9 90
171 910 10 91
172 900 9 100
173 800 8 100
174 700 7 100
175 600 6 100
176 500 5 100
177 400 4 100
178 300 3 100
179 200 2 100
180 100 1 100
Решением является число 198, при делении на сумму цифр (18) наименьшее частное (11).
Разумеется, я не перебирал все эти решения вручную, а составил программку в Excel, и быстренько их нашёл. Но это не является методом решения, так как на экзамене невозможно перебрать 999 вариантов. Должен быть какой-то "подход", но мне его найти не удалось. Возможно, кому-то, основываясь на найденных мной разложениях удастся подобрать формулу.
На всякий случай приведу эти результаты и в порядке убывания трёхзначных чисел.
№ ....Число.Сумма цифр.Частное
1 999 27 37
2 990 18 55
3 972 18 54
4 966 21 46
5 960 15 64
6 954 18 53
7 936 18 52
8 935 17 55
9 918 18 51
10 915 15 61
11 912 12 76
12 910 10 91
13 902 11 82
14 900 9 100
15 888 24 37
16 882 18 49
17 880 16 55
18 874 19 46
19 870 15 58
20 864 18 48
21 846 18 47
22 840 12 70
23 832 13 64
24 828 18 46
25 825 15 55
26 820 10 82
27 810 9 90
28 804 12 67
29 803 11 73
30 801 9 89
31 800 8 100
32 792 18 44
33 782 17 46
34 780 15 52
35 777 21 37
36 774 18 43
37 770 14 55
38 756 18 42
39 738 18 41
40 736 16 46
41 735 15 49
42 732 12 61
43 730 10 73
44 720 9 80
45 715 13 55
46 711 9 79
47 704 11 64
48 702 9 78
49 700 7 100
50 690 15 46
51 684 18 38
52 666 18 37
53 660 12 55
54 648 18 36
55 645 15 43
56 644 14 46
57 640 10 64
58 630 9 70
59 629 17 37
60 624 12 52
61 621 9 69
62 612 9 68
63 605 11 55
64 603 9 67
65 600 6 100
66 594 18 33
67 592 16 37
68 588 21 28
69 576 18 32
70 558 18 31
71 555 15 37
72 552 12 46
73 550 10 55
74 540 9 60
75 531 9 59
76 522 9 58
77 518 14 37
78 516 12 43
79 513 9 57
80 512 8 64
81 511 7 73
82 510 6 85
83 506 11 46
84 504 9 56
85 500 5 100
86 486 18 27
87 481 13 37
88 480 12 40
89 476 17 28
90 468 18 26
91 465 15 31
92 460 10 46
93 450 9 50
94 448 16 28
95 444 12 37
96 441 9 49
97 440 8 55
98 432 9 48
99 423 9 47
100 420 6 70
101 414 9 46
102 410 5 82
103 408 12 34
104 407 11 37
105 405 9 45
106 402 6 67
107 400 4 100
108 399 21 19
109 396 18 22
110 392 14 28
111 378 18 21
112 375 15 25
113 372 12 31
114 370 10 37
115 364 13 28
116 360 9 40
117 351 9 39
118 342 9 38
119 336 12 28
120 333 9 37
121 330 6 55
122 324 9 36
123 322 7 46
124 320 5 64
125 315 9 35
126 312 6 52
127 308 11 28
128 306 9 34
129 300 3 100
130 288 18 16
131 285 15 19
132 280 10 28
133 270 9 30
134 266 14 19
135 264 12 22
136 261 9 29
137 252 9 28
138 247 13 19
139 243 9 27
140 240 6 40
141 234 9 26
142 230 5 46
143 228 12 19
144 225 9 25
145 224 8 28
146 222 6 37
147 220 4 55
148 216 9 24
149 210 3 70
150 209 11 19
151 207 9 23
152 204 6 34
153 201 3 67
154 200 2 100
155 198 18 11
156 195 15 13
157 192 12 16
158 190 10 19
159 180 9 20
160 171 9 19
161 162 9 18
162 156 12 13
163 153 9 17
164 152 8 19
165 150 6 25
166 144 9 16
167 140 5 28
168 135 9 15
169 133 7 19
170 132 6 22
171 126 9 14
172 120 3 40
173 117 9 13
174 114 6 19
175 112 4 28
176 111 3 37
177 110 2 55
178 108 9 12
179 102 3 34
180 100 1 100
