При достижении поршнем максимальной скорости
![Mg=P_{1}S](https://tex.z-dn.net/?f=Mg%3DP_%7B1%7DS)
- давление газа в момент достижения максимальной скорости
Для нахождения максимальной скорости распишем изменение кинетической энергии
(ее изменение - это работа всех сил, действующих на поршень)
![\frac{1}{2}Mv^2=Mg(H-H_{1})+A](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMv%5E2%3DMg%28H-H_%7B1%7D%29%2BA)
- высота поршня при достижении максимальной скорости
A - это работа газа при уменьшении объема.
Высота поршня и объем газа пропорциональны:
![\frac{H}{H_{1}}=\frac{V}{V_{1}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BH%7D%7BH_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7BV%7D%7BV_%7B1%7D%7D)
V₁ - объем в момент достижения макс. скорости
Тогда
![\frac{1}{2}Mv^2=MgH(1-\frac{V_1}{V})+A](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMv%5E2%3DMgH%281-%5Cfrac%7BV_1%7D%7BV%7D%29%2BA)
Учитывая, что газ сжимается адиабатически, применяем уравнение Пуассона
![PV^k=P_1V_1^k](https://tex.z-dn.net/?f=PV%5Ek%3DP_1V_1%5Ek)
k=5/3 - для одноатомного газа
![\frac{V_1}{V}=(\frac{P}{P_1})^{\frac{1}{k}}=(\frac{PS}{Mg})^\frac{1}{k}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BV_1%7D%7BV%7D%3D%28%5Cfrac%7BP%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%7D%3D%28%5Cfrac%7BPS%7D%7BMg%7D%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D)
Работа газа при адиабатическом сжатии
![A = \frac{PV}{k-1}(1-(\frac{V}{V_1})^{k-1})=\frac{3}{2}MgH(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}(1-(\frac{Mg}{PS})^\frac{2}{5})](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D+%5Cfrac%7BPV%7D%7Bk-1%7D%281-%28%5Cfrac%7BV%7D%7BV_1%7D%29%5E%7Bk-1%7D%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DMgH%28%5Cfrac%7BPS%7D%7BMg%7D%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%281-%28%5Cfrac%7BMg%7D%7BPS%7D%29%5E%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%29)
Полученное подставляем в уравнение для скорости и находим ее
![v=\sqrt{2gH(1-\frac{5}{2}(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg})}](https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Csqrt%7B2gH%281-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%28%5Cfrac%7BPS%7D%7BMg%7D%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cfrac%7BPS%7D%7BMg%7D%29%7D)